484. Решите уравнения:
а) \( \log_3 x = -1 \)
По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
В нашем случае \( a = 3 \), \( c = -1 \), \( b = x \).
Значит, \( x = 3^{-1} \)
\( x = \frac{1}{3} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{3} \)
б) \( \log_{\frac{1}{6}} x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{6}\right)^{-3} \)
\( x = 6^3 \)
\( x = 216 \)
Ответ: \( x = 216 \)
в) \( \log_5 x = 2 \)
По определению логарифма:
\( x = 5^2 \)
\( x = 25 \)
Ответ: \( x = 25 \)
г) \( \log_7 x = -2 \)
По определению логарифма:
\( x = 7^{-2} \)
\( x = \frac{1}{7^2} \)
\( x = \frac{1}{49} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{49} \)
485. Решите уравнения:
а) \( \log_4 x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = 4^{-3} \)
\( x = \frac{1}{4^3} \)
\( x = \frac{1}{64} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{64} \)
б) \( \log_{\sqrt{5}} x = 0 \)
По определению логарифма:
\( x = (\sqrt{5})^0 \)
Любое число в нулевой степени (кроме нуля) равно 1.
\( x = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \)
в) \( \log_{\frac{1}{7}} x = 1 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{7}\right)^1 \)
\( x = \frac{1}{7} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{7} \)
г) \( \log_{\frac{1}{2}} x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \)
\( x = 2^3 \)
\( x = 8 \)
Ответ: \( x = 8 \)
486. Решите уравнения:
а) \( \log_x 81 = 4 \)
По определению логарифма:
\( x^4 = 81 \)
Мы знаем, что \( 3^4 = 81 \).
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным и не равным 1, то \( x = 3 \).
Ответ: \( x = 3 \)
б) \( \log_x \frac{1}{16} = 2 \)
По определению логарифма:
\( x^2 = \frac{1}{16} \)
\( x = \sqrt{\frac{1}{16}} \)
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным, то \( x = \frac{1}{4} \).
Ответ: \( x = \frac{1}{4} \)
в) \( \log_x \frac{1}{4} = -2 \)
По определению логарифма:
\( x^{-2} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4} \)
\( x^2 = 4 \)
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным, то \( x = 2 \).
Ответ: \( x = 2 \)
г) \( \log_x 27 = 3 \)
По определению логарифма:
\( x^3 = 27 \)
Мы знаем, что \( 3^3 = 27 \).
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным и не равным 1, то \( x = 3 \).
Ответ: \( x = 3 \)