Задача 484.
а) Решить уравнение: \( \log_3 x = -1 \)
По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \). Применим это определение:
\( x = 3^{-1} \)
\( x = \frac{1}{3} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{3} \)
б) Решить уравнение: \( \log_{\frac{1}{6}} x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{6}\right)^{-3} \)
\( x = 6^3 \)
\( x = 216 \)
Ответ: \( x = 216 \)
в) Решить уравнение: \( \log_5 x = 2 \)
По определению логарифма:
\( x = 5^2 \)
\( x = 25 \)
Ответ: \( x = 25 \)
г) Решить уравнение: \( \log_7 x = -2 \)
По определению логарифма:
\( x = 7^{-2} \)
\( x = \frac{1}{7^2} \)
\( x = \frac{1}{49} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{49} \)
Задача 485.
а) Решить уравнение: \( \log_4 x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = 4^{-3} \)
\( x = \frac{1}{4^3} \)
\( x = \frac{1}{64} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{64} \)
б) Решить уравнение: \( \log_{\sqrt{5}} x = 0 \)
По определению логарифма:
\( x = (\sqrt{5})^0 \)
Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1.
\( x = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \)
в) Решить уравнение: \( \log_{\frac{1}{7}} x = 1 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{7}\right)^1 \)
\( x = \frac{1}{7} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{7} \)
г) Решить уравнение: \( \log_{\frac{1}{2}} x = -3 \)
По определению логарифма:
\( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \)
\( x = 2^3 \)
\( x = 8 \)
Ответ: \( x = 8 \)
Задача 486.
а) Решить уравнение: \( \log_x 81 = 4 \)
По определению логарифма:
\( x^4 = 81 \)
\( x^4 = 3^4 \)
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным и не равным 1, то:
\( x = 3 \)
Ответ: \( x = 3 \)
б) Решить уравнение: \( \log_x \frac{1}{16} = 2 \)
По определению логарифма:
\( x^2 = \frac{1}{16} \)
\( x^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \)
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным:
\( x = \frac{1}{4} \)
Ответ: \( x = \frac{1}{4} \)
в) Решить уравнение: \( \log_x \frac{1}{4} = -2 \)
По определению логарифма:
\( x^{-2} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4} \)
\( x^2 = 4 \)
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным:
\( x = 2 \)
Ответ: \( x = 2 \)
г) Решить уравнение: \( \log_x 27 = 3 \)
По определению логарифма:
\( x^3 = 27 \)
\( x^3 = 3^3 \)
Так как основание логарифма \( x \) должно быть положительным:
\( x = 3 \)
Ответ: \( x = 3 \)