Задача: Вероятность остатка 2 при делении на 8

Конечно, вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задача 1.1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова вероятность того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2? Решение: 1. Определим общее количество возможных исходов. Натуральные числа, не превосходящие 100, это числа от 1 до 100. Общее количество чисел \(N = 100\). 2. Определим количество благоприятных исходов. Нам нужны числа, которые при делении на 8 дают в остатке 2. Такие числа можно представить в виде \(8k + 2\), где \(k\) - целое число. Перечислим такие числа, не превосходящие 100: При \(k = 0\): \(8 \cdot 0 + 2 = 2\) При \(k = 1\): \(8 \cdot 1 + 2 = 10\) При \(k = 2\): \(8 \cdot 2 + 2 = 18\) ... Найдем максимальное \(k\). \(8k + 2 \le 100\) \(8k \le 98\) \(k \le \frac{98}{8}\) \(k \le 12.25\) Значит, максимальное целое значение \(k\) равно 12. При \(k = 12\): \(8 \cdot 12 + 2 = 96 + 2 = 98\). Таким образом, благоприятные числа: 2, 10, 18, ..., 98. Количество таких чисел равно \(12 - 0 + 1 = 13\). Количество благоприятных исходов \(M = 13\). 3. Найдем вероятность. Вероятность события \(P\) вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов: \[P = \frac{M}{N}\] \[P = \frac{13}{100}\] \[P = 0.13\] Ответ: Вероятность того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2, равна 0.13. Задача 2.1. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Точка наугад бросается в шар. Какова вероятность попадания точки в пирамиду? Решение: 1. Определим, что такое правильная треугольная пирамида. Это тетраэдр, у которого основание - равносторонний треугольник, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Если пирамида вписана в шар, то все её вершины лежат на поверхности шара. 2. Для решения задачи нам нужно найти отношение объёма пирамиды к объёму шара. Пусть \(R\) - радиус шара. Объём шара: \[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3\] 3. Найдем объём правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар. Пусть \(a\) - сторона основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды. Объём пирамиды: \[V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} h\] Для правильной треугольной пирамиды основание - равносторонний треугольник со стороной \(a\). Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\] Для правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар радиуса \(R\), существуют формулы, связывающие её параметры с радиусом шара. Высота правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар, может быть выражена через радиус шара. Радиус описанной окружности основания \(r_{осн}\) для равностороннего треугольника со стороной \(a\): \[r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}\] Центр шара находится на высоте пирамиды. Расстояние от центра шара до вершин основания равно \(R\). Расстояние от центра шара до вершины пирамиды также равно \(R\). Пусть \(O\) - центр основания, \(S\) - вершина пирамиды. \(SO = h\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара \(R\), радиусом описанной окружности основания \(r_{осн}\) и расстоянием от центра шара до плоскости основания. Пусть \(x\) - расстояние от центра шара до плоскости основания. Тогда \(h = R \pm x\). По теореме Пифагора: \(R^2 = r_{осн}^2 + x^2\). Для правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар, существует соотношение между высотой \(h\) и радиусом шара \(R\). Для правильного тетраэдра (частный случай правильной треугольной пирамиды, где все грани - равносторонние треугольники), вписанного в шар, высота \(h = \frac{2\sqrt{6}}{3} R\), а сторона \(a = \frac{2\sqrt{6}}{3} R\). Однако, в задаче сказано "правильная треугольная пирамида", а не "правильный тетраэдр". Это означает, что основание - равносторонний треугольник, а боковые грани - равнобедренные треугольники. Для правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар, максимальный объем достигается, когда пирамида является правильным тетраэдром. В этом случае, сторона основания \(a = \frac{2\sqrt{6}}{3} R\). Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{\left(\frac{2\sqrt{6}}{3} R\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{4 \cdot 6}{9} R^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{24}{9} R^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8}{3} R^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{3} R^2\] Высота пирамиды \(h = \frac{4}{3} R\) (для правильного тетраэдра, вписанного в шар, высота от вершины до центра основания). Объём пирамиды: \[V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} R^2 \cdot \frac{4}{3} R = \frac{8\sqrt{3}}{27} R^3\] Это для случая, когда пирамида является правильным тетраэдром. Если же это просто правильная треугольная пирамида, то её объём может быть меньше. Однако, обычно в таких задачах подразумевается, что пирамида имеет максимальный объем, если не указано иное, или что она является правильным тетраэдром. Давайте перепроверим формулы для правильного тетраэдра. Для правильного тетраэдра со стороной \(a\): Высота \(h = a \sqrt{\frac{2}{3}}\). Радиус описанной сферы \(R = a \sqrt{\frac{3}{8}}\). Отсюда \(a = R \sqrt{\frac{8}{3}} = R \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = R \frac{2\sqrt{6}}{3}\). Объём тетраэдра: \(V_{тетраэдра} = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}\). Подставим \(a\): \[V_{тетраэдра} = \frac{\left(R \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^3}{6\sqrt{2}} = \frac{R^3 \frac{8 \cdot 6\sqrt{6}}{27}}{6\sqrt{2}} = \frac{R^3 \frac{48\sqrt{6}}{27}}{6\sqrt{2}} = \frac{R^3 \frac{16\sqrt{6}}{9}}{6\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{6} R^3}{54\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3} R^3}{27}\] Это совпадает с предыдущим расчетом. 4. Найдем вероятность. Вероятность попадания точки в пирамиду равна отношению объёма пирамиды к объёму шара: \[P = \frac{V_{пирамиды}}{V_{шара}} = \frac{\frac{8\sqrt{3}}{27} R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{8\sqrt{3}}{27} \cdot \frac{3}{4\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{9\pi}\] Приближенное значение: \(\sqrt{3} \approx 1.732\) \(\pi \approx 3.14159\) \[P \approx \frac{2 \cdot 1.732}{9 \cdot 3.14159} = \frac{3.464}{28.27431} \approx 0.1225\] Ответ: Вероятность попадания точки в пирамиду равна \(\frac{2\sqrt{3}}{9\pi}\). Задача 3.1. Устройство приводится в движение двумя двигателями. Вероятность отказа второго двигателя равна 0.1. При отказе первого двигателя нагрузка на второй возрастает, и он отказывает с вероятностью 0.4. Вероятность безотказной работы обоих двигателей, совместно работающих, равна 0.87. Найти вероятность безотказной работы первого двигателя. Решение: Обозначим события: \(A_1\) - безотказная работа первого двигателя. \(A_2\) - безотказная работа второго двигателя. \(\overline{A_1}\) - отказ первого двигателя. \(\overline{A_2}\) - отказ второго двигателя. Дано: 1. Вероятность отказа второго двигателя: \(P(\overline{A_2}) = 0.1\). Отсюда вероятность безотказной работы второго двигателя: \(P(A_2) = 1 - P(\overline{A_2}) = 1 - 0.1 = 0.9\). 2. Вероятность отказа второго двигателя при отказе первого: \(P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) = 0.4\). Это условная вероятность. 3. Вероятность безотказной работы обоих двигателей (совместно работающих): \(P(A_1 \cap A_2) = 0.87\). Это вероятность совместного события, что оба двигателя работают безотказно. Найти: Вероятность безотказной работы первого двигателя \(P(A_1)\). Используем формулу полной вероятности для события \(A_2\): \[P(A_2) = P(A_2 | A_1) P(A_1) + P(A_2 | \overline{A_1}) P(\overline{A_1})\] Мы знаем \(P(A_2) = 0.9\). Мы знаем \(P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) = 0.4\), значит \(P(A_2 | \overline{A_1}) = 1 - P(\overline{A_2} | \overline{A_1}) = 1 - 0.4 = 0.6\). Пусть \(P(A_1) = x\). Тогда \(P(\overline{A_1}) = 1 - x\). Также мы знаем \(P(A_1 \cap A_2) = P(A_2 | A_1) P(A_1)\). Из этого следует, что \(P(A_2 | A_1) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)} = \frac{0.87}{x}\). Подставим все известные значения в формулу полной вероятности: \[0.9 = \frac{0.87}{x} \cdot x + 0.6 \cdot (1 - x)\] \[0.9 = 0.87 + 0.6 - 0.6x\] \[0.9 = 1.47 - 0.6x\] \[0.6x = 1.47 - 0.9\] \[0.6x = 0.57\] \[x = \frac{0.57}{0.6}\] \[x = \frac{57}{60}\] \[x = \frac{19}{20}\] \[x = 0.95\] Таким образом, вероятность безотказной работы первого двигателя \(P(A_1) = 0.95\). Проверим: Если \(P(A_1) = 0.95\), то \(P(\overline{A_1}) = 1 - 0.95 = 0.05\). \(P(A_2 | A_1) = \frac{0.87}{0.95} \approx 0.9157\) \(P(A_2) = P(A_2 | A_1) P(A_1) + P(A_2 | \overline{A_1}) P(\overline{A_1})\) \(0.9 = 0.9157 \cdot 0.95 + 0.6 \cdot 0.05\) \(0.9 = 0.87 + 0.03\) \(0.9 = 0.9\) Расчеты верны. Ответ: Вероятность безотказной работы первого двигателя равна 0.95. Задача 4.1. Найти возможность безотказной работы (надежность) системы с параллельно-последовательным соединением элементов. Надежности элементов заданы на схеме. Схема 4.1: Параллельное соединение двух ветвей. Верхняя ветвь: последовательное соединение элементов с надежностями 0.9 и 0.7. Нижняя ветвь: последовательное соединение элементов с надежностями 0.8 и 0.6. Решение: 1. Найдем надежность верхней ветви (\(R_{верх}\)). Элементы соединены последовательно, поэтому их надежности перемножаются: \[R_{верх} = 0.9 \cdot 0.7 = 0.63\] 2. Найдем надежность нижней ветви (\(R_{ниж}\)). Элементы соединены последовательно, поэтому их надежности перемножаются: \[R_{ниж} = 0.8 \cdot 0.6 = 0.48\] 3. Найдем общую надежность системы (\(R_{системы}\)). Ветви соединены параллельно. Надежность параллельного соединения вычисляется по формуле: \[R_{системы} = 1 - (1 - R_{верх}) \cdot (1 - R_{ниж})\] \[R_{системы} = 1 - (1 - 0.63) \cdot (1 - 0.48)\] \[R_{системы} = 1 - 0.37 \cdot 0.52\] \[R_{системы} = 1 - 0.1924\] \[R_{системы} = 0.8076\] Ответ: Надежность системы 4.1 равна 0.8076. Задача 4.2. Найти возможность безотказной работы (надежность) системы с параллельно-последовательным соединением элементов. Надежности элементов заданы на схеме. Схема 4.2: Последовательное соединение трех блоков. Блок 1: параллельное соединение элементов с надежностями 0.9 и 0.8. Блок 2: один элемент с надежностью 0.9. Блок 3: параллельное соединение элементов с надежностями 0.7 и 0.85. Решение: 1. Найдем надежность Блока 1 (\(R_{Блок1}\)). Элементы соединены параллельно: \[R_{Блок1} = 1 - (1 - 0.9) \cdot (1 - 0.8)\] \[R_{Блок1} = 1 - 0.1 \cdot 0.2\] \[R_{Блок1} = 1 - 0.02\] \[R_{Блок1} = 0.98\] 2. Надежность Блока 2 (\(R_{Блок2}\)) равна надежности самого элемента: \[R_{Блок2} = 0.9\] 3. Найдем надежность Блока 3 (\(R_{Блок3}\)). Элементы соединены параллельно: \[R_{Блок3} = 1 - (1 - 0.7) \cdot (1 - 0.85)\] \[R_{Блок3} = 1 - 0.3 \cdot 0.15\] \[R_{Блок3} = 1 - 0.045\] \[R_{Блок3} = 0.955\] 4. Найдем общую надежность системы (\(R_{системы}\)). Блоки соединены последовательно, поэтому их надежности перемножаются: \[R_{системы} = R_{Блок1} \cdot R_{Блок2} \cdot R_{Блок3}\] \[R_{системы} = 0.98 \cdot 0.9 \cdot 0.955\] \[R_{системы} = 0.882 \cdot 0.955\] \[R_{системы} = 0.84271\] Ответ: Надежность системы 4.2 равна 0.84271. Задача 5.1. Найти надежность системы, если надежности элементов \(R_A = 0.9\); \(R_B = 0.8\); \(R_C = 0.7\); \(R_D = 0.6\); \(R_E = 0.5\). Ввести гипотезы о безотказности и отказе элемента E. Схема: Элементы A и B соединены параллельно. Элементы C и D соединены параллельно. Элемент E соединен между точкой после A/B и точкой перед C/D. Решение: Для решения этой задачи используем метод разложения по состояниям элемента E. Рассмотрим два взаимоисключающих случая: Случай 1: Элемент E работает безотказно (событие \(E\)). Вероятность этого события \(P(E) = R_E = 0.5\). Случай 2: Элемент E отказал (событие \(\overline{E}\)). Вероятность этого события \(P(\overline{E}) = 1 - R_E = 1 - 0.5 = 0.5\). Обозначим надежность всей системы как \(R_{системы}\). По формуле полной вероятности: \[R_{системы} = P(системы | E) \cdot P(E) + P(системы | \overline{E}) \cdot P(\overline{E})\] Рассмотрим Случай 1: Элемент E работает безотказно. Если E работает, то схема выглядит так: Элементы A, E, C соединены последовательно. Элементы B, E, D соединены последовательно. Но это не совсем так. Если E работает, то точка между A и C соединена с точкой между B и D. Это означает, что у нас есть две параллельные ветви: Верхняя ветвь: A и C соединены последовательно. Нижняя ветвь: B и D соединены последовательно. И эти две параллельные ветви соединены через E. Если E работает, то он как бы "замыкает" цепь между двумя узлами. Тогда система становится эквивалентной параллельному соединению (A-C) и (B-D), но с учетом E. Более корректно: Если E работает, то у нас есть две параллельные ветви: 1. Ветвь, проходящая через A, затем через E, затем через D. Надежность: \(R_A \cdot R_E \cdot R_D = 0.9 \cdot 0.5 \cdot 0.6 = 0.27\). 2. Ветвь, проходящая через B, затем через E, затем через C. Надежность: \(R_B \cdot R_E \cdot R_C = 0.8 \cdot 0.5 \cdot 0.7 = 0.28\). 3. Ветвь, проходящая через A, затем через C. Надежность: \(R_A \cdot R_C = 0.9 \cdot 0.7 = 0.63\). 4. Ветвь, проходящая через B, затем через D. Надежность: \(R_B \cdot R_D = 0.8 \cdot 0.6 = 0.48\). Это сложная схема. Проще представить её как мостовую схему. Для мостовой схемы, если элемент E работает, то узлы, которые он соединяет, становятся одним узлом. Тогда схема упрощается до параллельного соединения (A и B) и параллельного соединения (C и D), которые затем соединены последовательно. Надежность (A || B): \(R_{AB} = 1 - (1 - R_A)(1 - R_B) = 1 - (1 - 0.9)(1 - 0.8) = 1 - 0.1 \cdot 0.2 = 1 - 0.02 = 0.98\). Надежность (C || D): \(R_{CD} = 1 - (1 - R_C)(1 - R_D) = 1 - (1 - 0.7)(1 - 0.6) = 1 - 0.3 \cdot 0.4 = 1 - 0.12 = 0.88\). Если E работает, то надежность системы: \(P(системы | E) = R_{AB} \cdot R_{CD} = 0.98 \cdot 0.88 = 0.8624\). Рассмотрим Случай 2: Элемент E отказал. Если E отказал, то он разрывает соединение между узлами. Тогда схема состоит из двух параллельных ветвей: Верхняя ветвь: A и C соединены последовательно. Надежность: \(R_A \cdot R_C = 0.9 \cdot 0.7 = 0.63\). Нижняя ветвь: B и D соединены последовательно. Надежность: \(R_B \cdot R_D = 0.8 \cdot 0.6 = 0.48\). Эти две ветви соединены параллельно. Надежность системы в этом случае: \[P(системы | \overline{E}) = 1 - (1 - R_A R_C) (1 - R_B R_D)\] \[P(системы | \overline{E}) = 1 - (1 - 0.63) (1 - 0.48)\] \[P(системы | \overline{E}) = 1 - 0.37 \cdot 0.52\] \[P(системы | \overline{E}) = 1 - 0.1924\] \[P(системы | \overline{E}) = 0.8076\] Теперь подставим эти значения в формулу полной вероятности: \[R_{системы} = P(системы | E) \cdot P(E) + P(системы | \overline{E}) \cdot P(\overline{E})\] \[R_{системы} = 0.8624 \cdot 0.5 + 0.8076 \cdot 0.5\] \[R_{системы} = 0.4312 + 0.4038\] \[R_{системы} = 0.835\] Ответ: Надежность системы равна 0.835. Задача 6.1. Наладчик обслуживает 12 станков-автоматов. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, \(p = 1/3\). Какова вероятность того, что в течение часа потребуют наладки 4 станка? Решение: Это задача на биномиальное распределение. Дано: Общее количество станков \(n = 12\). Вероятность того, что один станок потребует регулировки \(p = 1/3\). Вероятность того, что один станок не потребует регулировки \(q = 1 - p = 1 - 1/3 = 2/3\). Нам нужно найти вероятность того, что ровно \(k = 4\) станка потребуют наладки. Используем формулу Бернулли: \[P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}\] где \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\). Подставим значения: \[P_{12}(4) = C_{12}^4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^{12-4}\] \[P_{12}(4) = C_{12}^4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^8\] Вычислим \(C_{12}^4\): \[C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495\] Теперь подставим это значение обратно в формулу: \[P_{12}(4) = 495 \cdot \frac{1^4}{3^4} \cdot \frac{2^8}{3^8}\] \[P_{12}(4) = 495 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{256}{6561}\] \[P_{12}(4) = \frac{495 \cdot 256}{81 \cdot 6561}\] \[P_{12}(4) = \frac{126720}{531441}\] Упростим дробь, если возможно. Разделим числитель и знаменатель на 81 (так как \(495 = 5 \cdot 81\)): \[P_{12}(4) = \frac{5 \cdot 256}{6561} = \frac{1280}{6561}\] Вычислим приближенное значение: \[P_{12}(4) \approx 0.19509\] Ответ: Вероятность того, что в течение часа потребуют наладки 4 станка, равна \(\frac{1280}{6561}\) или приблизительно 0.1951. Задача 7.1. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что в течение получаса: а) не будет ни одного вызова; б) будет хотя бы один вызов? Решение: Эта задача описывается распределением Пуассона, так как речь идет о количестве событий (вызовов) за определенный промежуток времени. Среднее количество вызовов за час \(\lambda_{час} = 60\). 1. Найдем среднее количество вызовов за полчаса. Полчаса - это половина часа. \[\lambda_{полчаса} = \frac{\lambda_{час}}{2} = \frac{60}{2} = 30\] Обозначим \(\lambda = 30\). 2. Используем формулу Пуассона для вероятности \(P(k)\) того, что произойдет ровно \(k\) событий: \[P(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\] а) Вероятность того, что не будет ни одного вызова (\(k = 0\)). \[P(0) = \frac{30^0}{0!} e^{-30}\] \[P(0) = \frac{1}{1} e^{-30}\] \[P(0) = e^{-30}\] Это очень маленькое число. \[e^{-30} \approx 9.3576 \cdot 10^{-14}\] б) Вероятность того, что будет хотя бы один вызов. Событие "хотя бы один вызов" является противоположным событию "не будет ни одного вызова". \[P(k \ge 1) = 1 - P(0)\] \[P(k \ge 1) = 1 - e^{-30}\] \[P(k \ge 1) \approx 1 - 9.3576 \cdot 10^{-14}\] \[P(k \ge 1) \approx 0.9999999999999064\] Ответ: а) Вероятность того, что не будет ни одного вызова, равна \(e^{-30}\) (приблизительно \(9.36 \cdot 10^{-14}\)). б) Вероятность того, что будет хотя бы один вызов, равна \(1 - e^{-30}\) (приблизительно 0.9999999999999064). Задача 8.1. Время устранения неисправности в механизме есть случайная величина T с функцией распределения: \[F(t) = \begin{cases} 0, & t \le 0 \\ 1 - e^{-kt}, & t > 0 \end{cases}\] где \(k = 0.1 \text{ 1/мин}\). Найти математическое ожидание, дисперсию, плотность распределения \(f(t)\), построить графики функций \(f(t)\) и \(F(t)\). Решение: 1. Найдем плотность распределения \(f(t)\). Плотность распределения \(f(t)\) является производной от функции распределения \(F(t)\): \[f(t) = F'(t)\] Для \(t \le 0\), \(F(t) = 0\), поэтому \(f(t) = 0\). Для \(t > 0\), \(F(t) = 1 - e^{-kt}\). \[f(t) = \frac{d}{dt} (1 - e^{-kt}) = 0 - (-k)e^{-kt} = ke^{-kt}\] Таким образом, плотность распределения: \[f(t) = \begin{cases} 0, & t \le 0 \\ ke^{-kt}, & t > 0 \end{cases}\] Это плотность экспоненциального распределения. 2. Найдем математическое ожидание \(M(T)\). Для экспоненциального распределения с параметром \(k\), математическое ожидание равно: \[M(T) = \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) dt = \int_{0}^{\infty} t (ke^{-kt}) dt\] Используем интегрирование по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\). Пусть \(u = t\), \(dv = ke^{-kt} dt\). Тогда \(du = dt\), \(v = \int ke^{-kt} dt = -e^{-kt}\). \[M(T) = \left[ -te^{-kt} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-kt}) dt\] \[M(T) = \left( \lim_{t \to \infty} (-te^{-kt}) - (-0 \cdot e^0) \right) + \int_{0}^{\infty} e^{-kt} dt\] \(\lim_{t \to \infty} (-te^{-kt}) = 0\) (по правилу Лопиталя или по свойству экспоненты). \[M(T) = 0 + \left[ -\frac{1}{k} e^{-kt} \right]_{0}^{\infty}\] \[M(T) = \left( \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{k} e^{-kt}) - (-\frac{1}{k} e^0) \right)\] \[M(T) = 0 - (-\frac{1}{k}) = \frac{1}{k}\] Подставим \(k = 0.1 \text{ 1/мин}\): \[M(T) = \frac{1}{0.1} = 10 \text{ мин}\] 3. Найдем дисперсию \(D(T)\). Для экспоненциального распределения с параметром \(k\), дисперсия равна: \[D(T) = \frac{1}{k^2}\] Подставим \(k = 0.1 \text{ 1/мин}\): \[D(T) = \frac{1}{(0.1)^2} = \frac{1}{0.01} = 100 \text{ мин}^2\] 4. Построим графики функций \(f(t)\) и \(F(t)\). Для \(k = 0.1\): \[f(t) = \begin{cases} 0, & t \le 0 \\ 0.1e^{-0.1t}, & t > 0 \end{cases}\] \[F(t) = \begin{cases} 0, & t \le 0 \\ 1 - e^{-0.1t}, & t > 0 \end{cases}\] График \(f(t)\): При \(t \le 0\), \(f(t) = 0\). При \(t > 0\), \(f(t)\) начинается с \(f(0^+) = 0.1e^0 = 0.1\) и экспоненциально убывает, стремясь к 0 при \(t \to \infty\). График \(F(t)\): При \(t \le 0\), \(F(t) = 0\). При \(t > 0\), \(F(t)\) начинается с \(F(0^+) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0\) и экспоненциально возрастает, стремясь к 1 при \(t \to \infty\). (В тетради нужно нарисовать эти графики. Здесь я могу только описать их.) График \(f(t)\) будет выглядеть как кривая, начинающаяся в точке (0, 0.1) и плавно опускающаяся к оси t, никогда её не пересекая, но приближаясь к ней. График \(F(t)\) будет выглядеть как горизонтальная линия на уровне 0 для \(t \le 0\), затем плавно поднимающаяся от 0 в точке (0,0) и асимптотически приближающаяся к горизонтальной линии на уровне 1 при \(t \to \infty\). Ответ: Плотность распределения: \[f(t) = \begin{cases} 0, & t \le 0 \\ 0.1e^{-0.1t}, & t > 0 \end{cases}\] Математическое ожидание \(M(T) = 10 \text{ мин}\). Дисперсия \(D(T) = 100 \text{ мин}^2\). Графики \(f(t)\) и \(F(t)\) описаны выше. Задача 9.1. Брак при производстве печатных плат вследствие дефекта A составляет 6%. Причем среди бракованных плат по признаку A в 4% встречается дефект B, а в продукции, свободной от дефекта A, встречается в 1% случаев. Найти вероятность дефекта B во всей продукции и коэффициент корреляции между признаками A и B (ввести индикаторные случайные величины X и Y для характеризации дефектов A и B). Решение: Введем индикаторные случайные величины: \(X = 1\), если плата имеет дефект A; \(X = 0\), если плата не имеет дефекта A. \(Y = 1\), если плата имеет дефект B; \(Y = 0\), если плата не имеет дефекта B. Дано: 1. Вероятность дефекта A: \(P(X=1) = 0.06\). Тогда вероятность отсутствия дефекта A: \(P(X=0) = 1 - P(X=1) = 1 - 0.06 = 0.94\). 2. Среди бракованных плат по признаку A (то есть при условии \(X=1\)) в 4% встречается дефект B. Это условная вероятность: \(P(Y=1 | X=1) = 0.04\). 3. В продукции, свободной от дефекта A (то есть при условии \(X=0\)), дефект B встречается в 1% случаев. Это условная вероятность: \(P(Y=1 | X=0) = 0.01\). Часть 1: Найти вероятность дефекта B во всей продукции \(P(Y=1)\). Используем формулу полной вероятности: \[P(Y=1) = P(Y=1 | X=1) P(X=1) + P(Y=1 | X=0) P(X=0)\] \[P(Y=1) = 0.04 \cdot 0.06 + 0.01 \cdot 0.94\] \[P(Y=1) = 0.0024 + 0.0094\] \[P(Y=1) = 0.0118\] Часть 2: Найти коэффициент корреляции между признаками A и B. Коэффициент корреляции \(\rho_{XY}\) определяется как: \[\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\] Сначала найдем математические ожидания и дисперсии для \(X\) и \(Y\). Для индикаторной случайной величины (распределение Бернулли): \(M(X) = P(X=1) = 0.06\) \(D(X) = P(X=1) \cdot (1 - P(X=1)) = 0.06 \cdot 0.94 = 0.0564\) \(M(Y) = P(Y=1) = 0.0118\) \(D(Y) = P(Y=1) \cdot (1 - P(Y=1)) = 0.0118 \cdot (1 - 0.0118) = 0.0118 \cdot 0.9882 = 0.01166076\) Теперь найдем ковариацию \(Cov(X, Y)\): \[Cov(X, Y) = M(XY) - M(X)M(Y)\] \(XY\) - это индикаторная случайная величина, которая равна 1 только тогда, когда \(X=1\) и \(Y=1\). В остальных случаях \(XY=0\). Поэтому \(M(XY) = P(X=1, Y=1)\). Найдем \(P(X=1, Y=1)\) с помощью формулы условной вероятности: \[P(X=1, Y=1) = P(Y=1 | X=1) P(X=1)\] \[P(X=1, Y=1) = 0.04 \cdot 0.06 = 0.0024\] Теперь вычислим ковариацию: \[Cov(X, Y) = 0.0024 - 0.06 \cdot 0.0118\] \[Cov(X, Y) = 0.0024 - 0.000708\] \[Cov(X, Y) = 0.001692\] Теперь вычислим коэффициент корреляции: \[\rho_{XY} = \frac{0.001692}{\sqrt{0.0564 \cdot 0.01166076}}\] \[\rho_{XY} = \frac{0.001692}{\sqrt{0.000657662624}}\] \[\rho_{XY} = \frac{0.001692}{0.02564508}\] \[\rho_{XY} \approx 0.06597\] Ответ: Вероятность дефекта B во всей продукции равна 0.0118. Коэффициент корреляции между признаками A и B приблизительно равен 0.0660.