Решение задачи: MN || AC, вычисление площади треугольника MBN

Решение задачи: Дано: Треугольник ABC. Прямая, параллельная стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. AC = 36. MN = 28. Площадь треугольника ABC (S_ABC) = 162. Найти: Площадь треугольника MBN (S_MBN). Решение: 1. Рассмотрим треугольники ABC и MBN. По условию, прямая MN параллельна стороне AC. Это означает, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC. 2. Признаки подобия треугольников: * Угол B общий для обоих треугольников. * Так как MN || AC, то угол BMN равен углу BAC (как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB). * Аналогично, угол BNM равен углу BCA (как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей BC). Таким образом, треугольники MBN и ABC подобны по трем углам. 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия (k) равен отношению соответствующих сторон. В данном случае, k = MN / AC. 4. Вычислим коэффициент подобия: \[ k = \frac{MN}{AC} = \frac{28}{36} \] Сократим дробь: \[ k = \frac{28 \div 4}{36 \div 4} = \frac{7}{9} \] 5. Отношение площадей: \[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 \] \[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{7}{9}\right)^2 \] \[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{7^2}{9^2} = \frac{49}{81} \] 6. Теперь найдем площадь треугольника MBN: \[ S_{MBN} = S_{ABC} \cdot \frac{49}{81} \] Подставим известное значение S_ABC = 162: \[ S_{MBN} = 162 \cdot \frac{49}{81} \] Заметим, что 162 делится на 81: \[ 162 \div 81 = 2 \] Значит: \[ S_{MBN} = 2 \cdot 49 \] \[ S_{MBN} = 98 \] Ответ: Площадь треугольника MBN равна 98.