Решение теста: Умножение вероятностей

Вот решения задач и ответы на вопросы, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Тестирование по теме: "Умножение вероятностей" Инструкция: Обведите один правильный ответ для каждого вопроса. 1. Какова формула для вычисления вероятности совместного наступления двух событий \(A\) и \(B\)? * А. \(P(A) + P(B)\) * Б. \(P(A) \cdot P(B)\) * В. \(P(A) \cdot P(B|A)\) * Г. Верны варианты Б и В в зависимости от условий Правильный ответ: Г. Верны варианты Б и В в зависимости от условий. Пояснение: Если события независимы, то \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Если события зависимы, то \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\). 2. Два события называются независимыми, если... * А. Они не могут произойти одновременно * Б. Наступление одного не влияет на вероятность наступления другого * В. Вероятность одного события равна вероятности другого * Г. Они всегда происходят вместе Правильный ответ: Б. Наступление одного не влияет на вероятность наступления другого. Пояснение: По определению, события независимы, если вероятность наступления одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. 3. Монету подбрасывают два раза. Какова вероятность выпадения двух орлов подряд? * А. \(\frac{1}{2}\) * Б. \(\frac{1}{4}\) * В. \(\frac{1}{8}\) * Г. \(\frac{3}{4}\) Правильный ответ: Б. \(\frac{1}{4}\). Решение: Вероятность выпадения орла при одном подбрасывании монеты равна \(\frac{1}{2}\). Поскольку подбрасывания независимы, вероятность выпадения двух орлов подряд равна произведению вероятностей: \(P(\text{два орла}) = P(\text{орел в 1-й раз}) \cdot P(\text{орел во 2-й раз}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). 4. В парке 3 дуба и 2 березы. Посетитель наугад касается двух деревьев друг за другом. Какова вероятность, что оба дерева окажутся дубами? (Дерево повторно не выбирается). * А. \(\frac{9}{25}\) * Б. \(\frac{3}{10}\) * В. \(\frac{1}{5}\) * Г. \(\frac{3}{5}\) Правильный ответ: Б. \(\frac{3}{10}\). Решение: Всего деревьев: \(3 + 2 = 5\). Вероятность того, что первое выбранное дерево окажется дубом: \(P(\text{1-й дуб}) = \frac{3}{5}\). После выбора одного дуба останется 4 дерева, из которых 2 дуба. Вероятность того, что второе выбранное дерево окажется дубом (при условии, что первое было дубом): \(P(\text{2-й дуб | 1-й дуб}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Вероятность того, что оба дерева окажутся дубами: \(P(\text{оба дуба}) = P(\text{1-й дуб}) \cdot P(\text{2-й дуб | 1-й дуб}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}\). 5. Вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе, равна 0,6, а на втором — 0,4. Вероятность брака на первом заводе 0,05, на втором — 0,1. Какова вероятность купить бракованную лампочку? * А. 0,15 * Б. 0,07 * В. 0,075 * Г. 0,005 Правильный ответ: Б. 0,07. Решение: Пусть \(З_1\) — событие, что лампочка произведена на первом заводе, \(З_2\) — на втором. \(P(З_1) = 0,6\), \(P(З_2) = 0,4\). Пусть \(Б\) — событие, что лампочка бракованная. Вероятность брака на первом заводе: \(P(Б | З_1) = 0,05\). Вероятность брака на втором заводе: \(P(Б | З_2) = 0,1\). Вероятность купить бракованную лампочку (по формуле полной вероятности): \(P(Б) = P(Б | З_1) \cdot P(З_1) + P(Б | З_2) \cdot P(З_2)\) \(P(Б) = 0,05 \cdot 0,6 + 0,1 \cdot 0,4\) \(P(Б) = 0,03 + 0,04\) \(P(Б) = 0,07\). 6. В цифровом коде используется два независимых друг от друга символа, каждый из которых может быть цифрой от 0 до 9. Какова вероятность того, что оба символа окажутся четными цифрами? * А. \(\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9}\) * Б. \(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}\) * В. \(\frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10}\) * Г. \(\frac{5}{10} + \frac{5}{10}\) Правильный ответ: В. \(\frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10}\). Решение: Всего цифр от 0 до 9: 10 цифр. Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8 (всего 5 цифр). Вероятность того, что первый символ окажется четной цифрой: \(P(\text{1-й четный}) = \frac{5}{10}\). Поскольку символы независимы, вероятность того, что второй символ окажется четной цифрой: \(P(\text{2-й четный}) = \frac{5}{10}\). Вероятность того, что оба символа окажутся четными: \(P(\text{оба четные}) = P(\text{1-й четный}) \cdot P(\text{2-й четный}) = \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10}\). 7. Если \(P(A) = 0,4\), \(P(B) = 0,5\) и \(P(A|B) = 0,2\), чему равна вероятность \(P(AB)\)? * А. 0,9 * Б. 0,1 * В. 0,2 * Г. 0,02 Правильный ответ: Б. 0,1. Решение: По определению условной вероятности: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Отсюда, \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)\). Подставляем данные значения: \(P(A \cap B) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1\). (Обозначение \(P(AB)\) эквивалентно \(P(A \cap B)\)). 8. Студент разбирается в 20 из 25 экзаменационных вопросов. Какова вероятность, что ему достанутся два вопроса, которые он знает, если билет состоит из двух случайных вопросов? (Предполагается выбор без возвращения) * А. \(\frac{20}{25} \cdot \frac{19}{24}\) * Б. \(\frac{20}{25} \cdot \frac{20}{25}\) * В. \(\frac{20}{25} + \frac{19}{24}\) * Г. \(\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{24}\) Правильный ответ: А. \(\frac{20}{25} \cdot \frac{19}{24}\). Решение: Всего вопросов: 25. Количество вопросов, которые студент знает: 20. Вероятность того, что первый вопрос, который достанется студенту, будет из тех, что он знает: \(P(\text{1-й знает}) = \frac{20}{25}\). После того, как один вопрос, который студент знает, был выбран, останется 24 вопроса, из которых 19 он знает. Вероятность того, что второй вопрос, который достанется студенту, будет из тех, что он знает (при условии, что первый был из тех, что он знает): \(P(\text{2-й знает | 1-й знает}) = \frac{19}{24}\). Вероятность того, что оба вопроса будут из тех, что он знает: \(P(\text{оба знает}) = P(\text{1-й знает}) \cdot P(\text{2-й знает | 1-й знает}) = \frac{20}{25} \cdot \frac{19}{24}\). 9. События \(A\) и \(B\) независимы. \(P(A) = 0,3\), \(P(B) = 0,6\). Чему равна \(P(AB)\)? * А. 0,18 * Б. 0,9 * В. 0,72 * Г. 0,5 Правильный ответ: А. 0,18. Решение: Для независимых событий \(A\) и \(B)\) вероятность их совместного наступления \(P(A \cap B)\) (или \(P(AB)\)) равна произведению их индивидуальных вероятностей: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\) \(P(AB) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\). 10. Вероятность попасть в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,9. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень, если они стреляют одновременно? * А. \(0,8 \cdot 0,9 = 0,72\) * Б. \(1 - (0,2 \cdot 0,1) = 0,98\) * В. \(0,8 + 0,9 = 1,7\) * Г. \(1 - (0,8 \cdot 0,9) = 0,28\) Правильный ответ: Б. \(1 - (0,2 \cdot 0,1) = 0,98\). Решение: Пусть \(A\) — событие, что первый стрелок попал в мишень, \(B\) — событие, что второй стрелок попал в мишень. \(P(A) = 0,8\), \(P(B) = 0,9\). Вероятность того, что первый стрелок промахнется: \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2\). Вероятность того, что второй стрелок промахнется: \(P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,9 = 0,1\). События попадания (и промаха) независимы. Вероятность того, что оба стрелка промахнутся: \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02\). Вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень, это событие, противоположное тому, что оба промахнутся. \(P(\text{хотя бы один попал}) = 1 - P(\text{оба промахнулись})\) \(P(\text{хотя бы один попал}) = 1 - 0,02 = 0,98\).