Решение:

Хорошо, давайте решим эту задачу по математике. Задача: Смешанное произведение векторов \(\vec{a} = \{3; 1; -1\}\), \(\vec{b} = \{4; 2; 0\}\) и \(\vec{c} = \{1; 0; 0\}\) равно... Смешанное произведение трех векторов \(\vec{a} = \{x_a; y_a; z_a\}\), \(\vec{b} = \{x_b; y_b; z_b\}\) и \(\vec{c} = \{x_c; y_c; z_c\}\) вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов: \[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\ x_c & y_c & z_c \end{vmatrix}\] В нашем случае: \(\vec{a} = \{3; 1; -1\}\) \(\vec{b} = \{4; 2; 0\}\) \(\vec{c} = \{1; 0; 0\}\) Подставим координаты векторов в определитель: \[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}\] Вычислим определитель. Удобнее всего разложить его по третьей строке, так как в ней много нулей: \[\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}\] \[= 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) + 0 + 0\] \[= 1 \cdot (0 + 2)\] \[= 1 \cdot 2\] \[= 2\] Таким образом, смешанное произведение векторов равно 2. Среди предложенных вариантов ответов: * 2 * 0 * 12 * -2 Наш результат совпадает с первым вариантом. Ответ для записи в тетрадь: Смешанное произведение векторов \(\vec{a} = \{3; 1; -1\}\), \(\vec{b} = \{4; 2; 0\}\) и \(\vec{c} = \{1; 0; 0\}\) вычисляется как определитель матрицы, составленной из их координат: \[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}\] Разложим определитель по третьей строке: \[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 1 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}\] \[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) + 0 + 0\] \[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 1 \cdot (0 + 2)\] \[(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 2\] Ответ: 2.