Ответы на вопросы билета 15
1. Серединный перпендикуляр, его свойство с доказательством, признак принадлежности точки серединному перпендикуляру.
Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.
Свойство серединного перпендикуляра: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Доказательство:
Пусть дан отрезок \(AB\). Пусть прямая \(l\) – серединный перпендикуляр к отрезку \(AB\), проходящий через его середину \(O\). Возьмем произвольную точку \(M\) на прямой \(l\).
Рассмотрим треугольники \(AOM\) и \(BOM\).
- \(AO = OB\), так как \(O\) – середина отрезка \(AB\).
- Угол \(AOM = \) угол \(BOM = 90^\circ\), так как \(l\) перпендикулярна \(AB\).
- Сторона \(OM\) – общая для обоих треугольников.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник \(AOM\) равен треугольнику \(BOM\).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(AM = BM\).
Таким образом, точка \(M\) равноудалена от концов отрезка \(A\) и \(B\).
Признак принадлежности точки серединному перпендикуляру: Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство:
Пусть дана точка \(M\), такая что \(AM = BM\). Пусть \(O\) – середина отрезка \(AB\). Проведем прямую \(MO\).
Рассмотрим треугольники \(AOM\) и \(BOM\).
- \(AM = BM\) (по условию).
- \(AO = OB\) (так как \(O\) – середина отрезка \(AB\)).
- Сторона \(MO\) – общая.
По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник \(AOM\) равен треугольнику \(BOM\).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: угол \(AOM = \) угол \(BOM\).
Так как углы \(AOM\) и \(BOM\) смежные и их сумма равна \(180^\circ\), а они равны, то каждый из них равен \(90^\circ\).
Следовательно, прямая \(MO\) перпендикулярна отрезку \(AB\) и проходит через его середину \(O\). По определению, прямая \(MO\) является серединным перпендикуляром к отрезку \(AB\).
2. Параллельные прямые. Признаки параллельных прямых.
Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признаки параллельных прямых:
Пусть две прямые \(a\) и \(b\) пересечены третьей прямой \(c\) (секущей).
- Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Накрест лежащие углы – это углы, расположенные по разные стороны от секущей и между параллельными прямыми. Например, если угол 3 = угол 6 или угол 4 = угол 5 (см. рисунок с углами при секущей), то прямые \(a\) и \(b\) параллельны. - Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Соответственные углы – это углы, расположенные по одну сторону от секущей, один из них между параллельными прямыми, другой – вне их. Например, если угол 1 = угол 5, или угол 2 = угол 6, или угол 3 = угол 7, или угол 4 = угол 8, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны. - Если сумма односторонних углов равна \(180^\circ\), то прямые параллельны.
Односторонние углы – это углы, расположенные по одну сторону от секущей и между параллельными прямыми. Например, если угол 3 + угол 5 = \(180^\circ\), или угол 4 + угол 6 = \(180^\circ\), то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
3. Диагональ \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) образует с его сторонами углы, равные \(65^\circ\) и \(50^\circ\). Найдите меньший угол параллелограмма.
Дано: Параллелограмм \(ABCD\). Диагональ \(BD\).
Угол \(ABD = 65^\circ\).
Угол \(BDC = 50^\circ\).
Найти: Меньший угол параллелограмма.
Решение:
1. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Значит, \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\).
2. Рассмотрим параллельные прямые \(AB\) и \(CD\) и секущую \(BD\). Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Следовательно, угол \(ABD = \) угол \(BDC\).
В условии дано, что диагональ \(BD\) образует со сторонами углы \(65^\circ\) и \(50^\circ\). Это означает, что один из углов, образованных диагональю \(BD\) со сторонами, равен \(65^\circ\), а другой – \(50^\circ\).
Пусть угол \(ABD = 65^\circ\). Тогда, так как \(AB \parallel CD\), накрест лежащий угол \(BDC\) также равен \(65^\circ\).
Но в условии сказано, что диагональ образует со сторонами углы \(65^\circ\) и \(50^\circ\). Это означает, что углы, которые диагональ образует с разными сторонами, исходящими из одной вершины, или с разными сторонами, к которым она подходит, имеют эти значения.
Давайте предположим, что углы \(BDC\) и \(DBC\) – это те углы, которые диагональ \(BD\) образует со сторонами \(CD\) и \(BC\) соответственно.
Тогда, если угол \(BDC = 50^\circ\), то угол \(ABD\) (как накрест лежащий к \(BDC\)) также равен \(50^\circ\).
И если угол \(DBC = 65^\circ\), то угол \(ADB\) (как накрест лежащий к \(DBC\)) также равен \(65^\circ\).
Таким образом, мы имеем:
- Угол \(ABD = 50^\circ\)
- Угол \(DBC = 65^\circ\)
3. Найдем углы параллелограмма.
Угол \(B\) параллелограмма равен сумме углов \(ABD\) и \(DBC\).
\[ \angle B = \angle ABD + \angle DBC = 50^\circ + 65^\circ = 115^\circ \]В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому угол \(D = \) угол \(B = 115^\circ\).
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна \(180^\circ\).
\[ \angle A + \angle B = 180^\circ \] \[ \angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \]В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому угол \(C = \) угол \(A = 65^\circ\).
4. Сравним найденные углы:
Угол \(A = 65^\circ\)
Угол \(B = 115^\circ\)
Угол \(C = 65^\circ\)
Угол \(D = 115^\circ\)
Меньший угол параллелограмма равен \(65^\circ\).
Ответ: Меньший угол параллелограмма равен \(65^\circ\).