Вариант 4
Задача 1. На рисунке приведена система бесконечных параллельных плоскостей, находящихся на расстоянии 1 см друг от друга. Поверхностные плотности зарядов на плоскостях \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) и \(\sigma_3\) соответственно равны 10, -15, 20 мкКл/м2. Найти:
а) напряженность поля в точках A, B, C, D;
б) разность потенциалов между плоскостями 1 и 2.
Дано:
Расстояние между плоскостями \(d = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}\)
Поверхностные плотности зарядов:
\(\sigma_1 = 10 \text{ мкКл/м}^2 = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл/м}^2\)
\(\sigma_2 = -15 \text{ мкКл/м}^2 = -15 \cdot 10^{-6} \text{ Кл/м}^2\)
\(\sigma_3 = 20 \text{ мкКл/м}^2 = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл/м}^2\)
Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}\)
Найти:
а) \(E_A, E_B, E_C, E_D\)
б) \(\Delta\varphi_{12}\)
Решение:
Напряженность электрического поля, создаваемого одной бесконечной заряженной плоскостью, определяется формулой:
\[E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}\]Направление вектора напряженности поля от положительно заряженной плоскости направлено от нее, а к отрицательно заряженной плоскости – к ней.
Рассчитаем напряженности поля от каждой плоскости по отдельности:
\[E_1 = \frac{|\sigma_1|}{2\varepsilon_0} = \frac{10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл/м}^2}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}} = \frac{10 \cdot 10^{-6}}{17.7 \cdot 10^{-12}} \text{ В/м} \approx 0.565 \cdot 10^6 \text{ В/м} = 565 \text{ кВ/м}\] \[E_2 = \frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0} = \frac{|-15 \cdot 10^{-6}| \text{ Кл/м}^2}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}} = \frac{15 \cdot 10^{-6}}{17.7 \cdot 10^{-12}} \text{ В/м} \approx 0.847 \cdot 10^6 \text{ В/м} = 847 \text{ кВ/м}\] \[E_3 = \frac{|\sigma_3|}{2\varepsilon_0} = \frac{20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл/м}^2}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}} = \frac{20 \cdot 10^{-6}}{17.7 \cdot 10^{-12}} \text{ В/м} \approx 1.130 \cdot 10^6 \text{ В/м} = 1130 \text{ кВ/м}\]Примем положительное направление оси X вправо.
а) Напряженность поля в точках A, B, C, D:
Точка A (слева от плоскости 1):
Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено влево (от плоскости 1). \(E_{1A} = -E_1\)
Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено вправо (к плоскости 2). \(E_{2A} = E_2\)
Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено вправо (от плоскости 3). \(E_{3A} = E_3\)
\[E_A = -E_1 + E_2 + E_3 = -565 + 847 + 1130 = 1412 \text{ кВ/м}\]Точка B (между плоскостями 1 и 2):
Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено вправо (от плоскости 1). \(E_{1B} = E_1\)
Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено вправо (к плоскости 2). \(E_{2B} = E_2\)
Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено вправо (от плоскости 3). \(E_{3B} = E_3\)
\[E_B = E_1 + E_2 + E_3 = 565 + 847 + 1130 = 2542 \text{ кВ/м}\]Точка C (между плоскостями 2 и 3):
Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено вправо (от плоскости 1). \(E_{1C} = E_1\)
Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено влево (к плоскости 2). \(E_{2C} = -E_2\)
Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено влево (от плоскости 3). \(E_{3C} = -E_3\)
\[E_C = E_1 - E_2 - E_3 = 565 - 847 - 1130 = -1412 \text{ кВ/м}\]Знак минус означает, что вектор напряженности поля в точке C направлен влево.
Точка D (справа от плоскости 3):
Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено вправо (от плоскости 1). \(E_{1D} = E_1\)
Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено влево (к плоскости 2). \(E_{2D} = -E_2\)
Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено вправо (от плоскости 3). \(E_{3D} = E_3\)
\[E_D = E_1 - E_2 + E_3 = 565 - 847 + 1130 = 848 \text{ кВ/м}\]б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2:
Разность потенциалов между двумя точками в однородном электрическом поле определяется как \(\Delta\varphi = E \cdot d\). В данном случае, между плоскостями 1 и 2 поле не является однородным, так как на него влияют все три плоскости. Однако, если мы рассматриваем разность потенциалов между самими плоскостями, то нужно учитывать суммарное поле в области между ними.
Напряженность поля между плоскостями 1 и 2 (например, в точке B) равна \(E_B\). Расстояние между плоскостями 1 и 2 равно \(d\).
\[\Delta\varphi_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 = E_B \cdot d\]Подставим значения:
\[\Delta\varphi_{12} = 2542 \cdot 10^3 \text{ В/м} \cdot 0.01 \text{ м} = 25420 \text{ В} = 25.42 \text{ кВ}\]Ответ:
а) Напряженность поля в точках:
\(E_A = 1412 \text{ кВ/м}\) (направлено вправо)
\(E_B = 2542 \text{ кВ/м}\) (направлено вправо)
\(E_C = -1412 \text{ кВ/м}\) (направлено влево)
\(E_D = 848 \text{ кВ/м}\) (направлено вправо)
б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2: \(\Delta\varphi_{12} = 25.42 \text{ кВ}\)