Задание в тетради:
1) Воспользуйтесь схемой Горнера для перевода чисел в десятичную СС:
а) 1101111,011 (двоичная)
Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную с помощью схемы Горнера, мы можем представить число в виде суммы степеней основания. Для дробных чисел схема Горнера применяется отдельно к целой и дробной части.
Целая часть: \(1101111_2\)
Начинаем с самой левой цифры, умножаем на основание (2) и прибавляем следующую цифру.
\(1 \cdot 2 + 1 = 3\)
\(3 \cdot 2 + 0 = 6\)
\(6 \cdot 2 + 1 = 13\)
\(13 \cdot 2 + 1 = 27\)
\(27 \cdot 2 + 1 = 55\)
\(55 \cdot 2 + 1 = 111\)
Таким образом, целая часть \(1101111_2 = 111_{10}\).
Дробная часть: \(0,011_2\)
Для дробной части схема Горнера применяется в обратном порядке, начиная с самой правой цифры, умножая на \(1/2\) (или деля на 2) и прибавляя следующую цифру.
Можно также представить как сумму отрицательных степеней:
\(0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}\)
\(= 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{8}\)
\(= 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(= \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)
\(= 0,375_{10}\)
Итого: \(1101111,011_2 = 111,375_{10}\).
б) 2310,31 (четверичная)
Целая часть: \(2310_4\)
\(2 \cdot 4 + 3 = 11\)
\(11 \cdot 4 + 1 = 45\)
\(45 \cdot 4 + 0 = 180\)
Таким образом, целая часть \(2310_4 = 180_{10}\).
Дробная часть: \(0,31_4\)
\(3 \cdot 4^{-1} + 1 \cdot 4^{-2}\)
\(= 3 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{16}\)
\(= \frac{3}{4} + \frac{1}{16}\)
\(= \frac{12}{16} + \frac{1}{16} = \frac{13}{16}\)
\(= 0,8125_{10}\)
Итого: \(2310,31_4 = 180,8125_{10}\).
в) 7132,264 (восьмеричная)
Целая часть: \(7132_8\)
\(7 \cdot 8 + 1 = 57\)
\(57 \cdot 8 + 3 = 459\)
\(459 \cdot 8 + 2 = 3674\)
Таким образом, целая часть \(7132_8 = 3674_{10}\).
Дробная часть: \(0,264_8\)
\(2 \cdot 8^{-1} + 6 \cdot 8^{-2} + 4 \cdot 8^{-3}\)
\(= 2 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{64} + 4 \cdot \frac{1}{512}\)
\(= \frac{2}{8} + \frac{6}{64} + \frac{4}{512}\)
\(= \frac{128}{512} + \frac{48}{512} + \frac{4}{512}\)
\(= \frac{128 + 48 + 4}{512} = \frac{180}{512}\)
\(= 0,3515625_{10}\)
Итого: \(7132,264_8 = 3674,3515625_{10}\).
2) Переведите число 4817 из десятичной системы счисления в пятеричную, восьмеричную, шестнадцатеричную.
Перевод в пятеричную систему счисления:
Делим число 4817 на 5 и записываем остатки в обратном порядке.
\(4817 \div 5 = 963\) остаток \(2\)
\(963 \div 5 = 192\) остаток \(3\)
\(192 \div 5 = 38\) остаток \(2\)
\(38 \div 5 = 7\) остаток \(3\)
\(7 \div 5 = 1\) остаток \(2\)
\(1 \div 5 = 0\) остаток \(1\)
Собираем остатки снизу вверх: \(123232_5\).
Таким образом, \(4817_{10} = 123232_5\).
Перевод в восьмеричную систему счисления:
Делим число 4817 на 8 и записываем остатки в обратном порядке.
\(4817 \div 8 = 602\) остаток \(1\)
\(602 \div 8 = 75\) остаток \(2\)
\(75 \div 8 = 9\) остаток \(3\)
\(9 \div 8 = 1\) остаток \(1\)
\(1 \div 8 = 0\) остаток \(1\)
Собираем остатки снизу вверх: \(11321_8\).
Таким образом, \(4817_{10} = 11321_8\).
Перевод в шестнадцатеричную систему счисления:
Делим число 4817 на 16 и записываем остатки в обратном порядке. (Напоминание: \(10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E, 15 = F\))
\(4817 \div 16 = 301\) остаток \(1\)
\(301 \div 16 = 18\) остаток \(13\) (это \(D\))
\(18 \div 16 = 1\) остаток \(2\)
\(1 \div 16 = 0\) остаток \(1\)
Собираем остатки снизу вверх: \(12D1_{16}\).
Таким образом, \(4817_{10} = 12D1_{16}\).
3) Переведите числа:
а) 1011101,1101 из двоичной СС в восьмеричную (триадами) и шестнадцатеричную (тетрадами).
В восьмеричную (триадами):
Разбиваем целую часть на группы по 3 цифры справа налево, добавляя нули слева при необходимости.
\(1 \ 011 \ 101_2\)
Разбиваем дробную часть на группы по 3 цифры слева направо, добавляя нули справа при необходимости.
\(110 \ 100_2\)
Переводим каждую триаду в восьмеричную цифру:
\(001_2 = 1_8\)
\(011_2 = 3_8\)
\(101_2 = 5_8\)
\(110_2 = 6_8\)
\(100_2 = 4_8\)
Итого: \(1011101,1101_2 = 135,64_8\).
В шестнадцатеричную (тетрадами):
Разбиваем целую часть на группы по 4 цифры справа налево, добавляя нули слева при необходимости.
\(0101 \ 1101_2\)
Разбиваем дробную часть на группы по 4 цифры слева направо, добавляя нули справа при необходимости.
\(1101_2\)
Переводим каждую тетраду в шестнадцатеричную цифру:
\(0101_2 = 5_{16}\)
\(1101_2 = D_{16}\)
\(1101_2 = D_{16}\)
Итого: \(1011101,1101_2 = 5D,D_{16}\).
б) 10111,01111 из двоичной СС в восьмеричную (триадами) и шестнадцатеричную (тетрадами).
В восьмеричную (триадами):
Целая часть: \(010 \ 111_2\)
Дробная часть: \(011 \ 110_2\)
Переводим каждую триаду в восьмеричную цифру:
\(010_2 = 2_8\)
\(111_2 = 7_8\)
\(011_2 = 3_8\)
\(110_2 = 6_8\)
Итого: \(10111,01111_2 = 27,36_8\).
В шестнадцатеричную (тетрадами):
Целая часть: \(0001 \ 0111_2\)
Дробная часть: \(0111 \ 1000_2\)
Переводим каждую тетраду в шестнадцатеричную цифру:
\(0001_2 = 1_{16}\)
\(0111_2 = 7_{16}\)
\(0111_2 = 7_{16}\)
\(1000_2 = 8_{16}\)
Итого: \(10111,01111_2 = 17,78_{16}\).