Решение логарифмического неравенства: подробный разбор с ОДЗ

Решим неравенство: \[ \log_3 \left( 7^{\log_7(7-x)} + 20^{\log_{20}(x+20)} \right) + 1 \geq \log_2 (x^2 - 6x) \] Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Для логарифмов выражения под логарифмом должны быть строго больше нуля. 1. \( 7-x > 0 \Rightarrow x < 7 \) 2. \( x+20 > 0 \Rightarrow x > -20 \) 3. \( x^2 - 6x > 0 \Rightarrow x(x-6) > 0 \) Это неравенство выполняется при \( x < 0 \) или \( x > 6 \). Объединяем все условия ОДЗ: \( x < 7 \) \( x > -20 \) \( x < 0 \) или \( x > 6 \) На числовой прямой это выглядит так: \( (-20, 7) \) \( (-\infty, 0) \cup (6, +\infty) \) Пересечение этих интервалов дает ОДЗ: \( (-20, 0) \cup (6, 7) \) Теперь упростим выражение внутри первого логарифма, используя свойство \( a^{\log_a b} = b \): \( 7^{\log_7(7-x)} = 7-x \) \( 20^{\log_{20}(x+20)} = x+20 \) Подставим это в неравенство: \[ \log_3 \left( (7-x) + (x+20) \right) + 1 \geq \log_2 (x^2 - 6x) \] \[ \log_3 (7-x+x+20) + 1 \geq \log_2 (x^2 - 6x) \] \[ \log_3 (27) + 1 \geq \log_2 (x^2 - 6x) \] Вычислим \( \log_3 (27) \): \( \log_3 (27) = \log_3 (3^3) = 3 \) Подставим это значение: \[ 3 + 1 \geq \log_2 (x^2 - 6x) \] \[ 4 \geq \log_2 (x^2 - 6x) \] Представим число 4 как логарифм по основанию 2: \( 4 = \log_2 (2^4) = \log_2 (16) \) Теперь неравенство выглядит так: \[ \log_2 (16) \geq \log_2 (x^2 - 6x) \] Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( \log_2 t \) является возрастающей. Поэтому мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства: \[ 16 \geq x^2 - 6x \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ x^2 - 6x - 16 \leq 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 6x - 16 = 0 \) с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: Сумма корней \( x_1 + x_2 = 6 \) Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = -16 \) Подходящие корни: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 8 \). Проверим: \( -2 + 8 = 6 \), \( -2 \cdot 8 = -16 \). Верно. Квадратный трехчлен \( x^2 - 6x - 16 \) имеет параболу, ветви которой направлены вверх. Неравенство \( x^2 - 6x - 16 \leq 0 \) выполняется между корнями, включая сами корни: \[ -2 \leq x \leq 8 \] Теперь нам нужно найти пересечение этого решения с ОДЗ: ОДЗ: \( (-20, 0) \cup (6, 7) \) Решение неравенства: \( [-2, 8] \) Найдем пересечение: 1. Пересечение \( [-2, 8] \) с \( (-20, 0) \): \( [-2, 0) \) 2. Пересечение \( [-2, 8] \) с \( (6, 7) \): \( (6, 7) \) Объединяем эти два интервала: \( [-2, 0) \cup (6, 7) \) Это и есть окончательное решение неравенства. Ответ: \[ x \in [-2, 0) \cup (6, 7) \]