Задание в тетради:
1) Воспользуйтесь схемой Горнера для перевода чисел в десятичную СС:
а) 1101111,011 (двоичная);
б) 2310,31 (четверичная);
в) 7132,264 (восьмеричная)
2) Переведите число 4817 из десятичной системы счисления в пятеричную, восьмеричную, шестнадцатеричную.
3) Переведите числа:
а) 1011101,1101
б) 10111,01111
из двоичной СС в восьмеричную (триадами) и шестнадцатеричную (тетрадами).
***
Решение:
1) Перевод чисел в десятичную систему счисления по схеме Горнера.
Схема Горнера для перевода чисел из системы счисления с основанием \(b\) в десятичную систему счисления выглядит следующим образом:
Для целой части числа \( (a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0)_b \):
\( ((\dots((a_n \cdot b + a_{n-1}) \cdot b + a_{n-2}) \dots ) \cdot b + a_1) \cdot b + a_0 \)
Для дробной части числа \( (0.a_{-1} a_{-2} \dots a_{-m})_b \):
\( a_{-1} \cdot b^{-1} + a_{-2} \cdot b^{-2} + \dots + a_{-m} \cdot b^{-m} \)
Или, что эквивалентно, можно использовать схему Горнера для дробной части, если переписать её как:
\( ((\dots((a_{-m} \cdot b^{-1} + a_{-(m-1)}) \cdot b^{-1} + \dots ) \cdot b^{-1} + a_{-1}) \cdot b^{-1} \)
Однако, для дробной части чаще используют прямое суммирование степеней, так как схема Горнера для неё менее интуитивна и может быть сложнее в применении для школьника. Поэтому для дробной части будем использовать прямое суммирование.
а) Переведем 1101111,011 (двоичная) в десятичную СС.
Целая часть: 11011112
\( 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \)
Используем схему Горнера:
\( (((( (1 \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = (((( (2 + 1) \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = (((( 3 \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = (((( 6 + 0) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = ((( 6 \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = ((( 12 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = (( 13 \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = (( 26 + 1) \cdot 2 + 1 \)
\( = ( 27 \cdot 2 + 1 \)
\( = 54 + 1 = 55 \)
Дробная часть: 0,0112
\( 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} \)
\( = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{8} \)
\( = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \)
\( = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0,375 \)
Итого: \( 55 + 0,375 = 55,375 \)
Ответ: 1101111,0112 = 55,37510
б) Переведем 2310,31 (четверичная) в десятичную СС.
Целая часть: 23104
\( 2 \cdot 4^3 + 3 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0 \)
Используем схему Горнера:
\( (((2 \cdot 4 + 3) \cdot 4 + 1) \cdot 4 + 0) \)
\( = (((8 + 3) \cdot 4 + 1) \cdot 4 + 0) \)
\( = ((11 \cdot 4 + 1) \cdot 4 + 0) \)
\( = ((44 + 1) \cdot 4 + 0) \)
\( = (45 \cdot 4 + 0) \)
\( = 180 + 0 = 180 \)
Дробная часть: 0,314
\( 3 \cdot 4^{-1} + 1 \cdot 4^{-2} \)
\( = 3 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{16} \)
\( = \frac{3}{4} + \frac{1}{16} \)
\( = \frac{12}{16} + \frac{1}{16} = \frac{13}{16} = 0,8125 \)
Итого: \( 180 + 0,8125 = 180,8125 \)
Ответ: 2310,314 = 180,812510
в) Переведем 7132,264 (восьмеричная) в десятичную СС.
Целая часть: 71328
\( 7 \cdot 8^3 + 1 \cdot 8^2 + 3 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 \)
Используем схему Горнера:
\( (((7 \cdot 8 + 1) \cdot 8 + 3) \cdot 8 + 2) \)
\( = (((56 + 1) \cdot 8 + 3) \cdot 8 + 2) \)
\( = ((57 \cdot 8 + 3) \cdot 8 + 2) \)
\( = ((456 + 3) \cdot 8 + 2) \)
\( = (459 \cdot 8 + 2) \)
\( = 3672 + 2 = 3674 \)
Дробная часть: 0,2648
\( 2 \cdot 8^{-1} + 6 \cdot 8^{-2} + 4 \cdot 8^{-3} \)
\( = 2 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{64} + 4 \cdot \frac{1}{512} \)
\( = \frac{2}{8} + \frac{6}{64} + \frac{4}{512} \)
\( = \frac{128}{512} + \frac{48}{512} + \frac{4}{512} \)
\( = \frac{128 + 48 + 4}{512} = \frac{180}{512} \)
Сократим дробь:
\( \frac{180}{512} = \frac{90}{256} = \frac{45}{128} \)
Переведем в десятичную дробь: \( 45 \div 128 \approx 0,3515625 \)
Итого: \( 3674 + 0,3515625 = 3674,3515625 \)
Ответ: 7132,2648 = 3674,351562510
***
2) Переведите число 4817 из десятичной системы счисления в пятеричную, восьмеричную, шестнадцатеричную.
Для перевода целого числа из десятичной системы в другую систему счисления нужно последовательно делить число на основание новой системы счисления и записывать остатки от деления в обратном порядке.
а) В пятеричную систему счисления (основание 5):
\( 4817 \div 5 = 963 \) остаток \( 2 \)
\( 963 \div 5 = 192 \) остаток \( 3 \)
\( 192 \div 5 = 38 \) остаток \( 2 \)
\( 38 \div 5 = 7 \) остаток \( 3 \)
\( 7 \div 5 = 1 \) остаток \( 2 \)
\( 1 \div 5 = 0 \) остаток \( 1 \)
Собираем остатки снизу вверх: 123232
Ответ: 481710 = 1232325
б) В восьмеричную систему счисления (основание 8):
\( 4817 \div 8 = 602 \) остаток \( 1 \)
\( 602 \div 8 = 75 \) остаток \( 2 \)
\( 75 \div 8 = 9 \) остаток \( 3 \)
\( 9 \div 8 = 1 \) остаток \( 1 \)
\( 1 \div 8 = 0 \) остаток \( 1 \)
Собираем остатки снизу вверх: 11321
Ответ: 481710 = 113218
в) В шестнадцатеричную систему счисления (основание 16):
Напомним, что в шестнадцатеричной системе цифры от 10 до 15 обозначаются буквами: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
\( 4817 \div 16 = 301 \) остаток \( 1 \)
\( 301 \div 16 = 18 \) остаток \( 13 \) (это D)
\( 18 \div 16 = 1 \) остаток \( 2 \)
\( 1 \div 16 = 0 \) остаток \( 1 \)
Собираем остатки снизу вверх: 12D1
Ответ: 481710 = 12D116
***
3) Переведите числа из двоичной СС в восьмеричную (триадами) и шестнадцатеричную (тетрадами).
Для перевода из двоичной в восьмеричную систему счисления нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры (триады), начиная от запятой в обе стороны. Если в начале или конце не хватает цифр, дописываем нули.
Для перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления нужно разбить двоичное число на группы по 4 цифры (тетрады), начиная от запятой в обе стороны. Если в начале или конце не хватает цифр, дописываем нули.
а) 1011101,1101
В восьмеричную систему (триадами):
Целая часть: 10111012
Разбиваем на триады, начиная справа: 1 011 101
Дописываем нули слева, если нужно: 001 011 101
Переводим каждую триаду в восьмеричную цифру:
\( 001_2 = 1_8 \)
\( 011_2 = 3_8 \)
\( 101_2 = 5_8 \)
Получаем: 1358
Дробная часть: 11012
Разбиваем на триады, начиная слева: 110 1
Дописываем нули справа, если нужно: 110 100
Переводим каждую триаду в восьмеричную цифру:
\( 110_2 = 6_8 \)
\( 100_2 = 4_8 \)
Получаем: 648
Итого: 135,648
Ответ: 1011101,11012 = 135,648
В шестнадцатеричную систему (тетрадами):
Целая часть: 10111012
Разбиваем на тетрады, начиная справа: 101 1101
Дописываем нули слева, если нужно: 0101 1101
Переводим каждую тетраду в шестнадцатеричную цифру:
\( 0101_2 = 5_{16} \)
\( 1101_2 = 13_{10} = D_{16} \)
Получаем: 5D16
Дробная часть: 11012
Разбиваем на тетрады, начиная слева: 1101
Дописывать нули не нужно.
Переводим тетраду в шестнадцатеричную цифру:
\( 1101_2 = 13_{10} = D_{16} \)
Получаем: D16
Итого: 5D,D16
Ответ: 1011101,11012 = 5D,D16
б) 10111,01111
В восьмеричную систему (триадами):
Целая часть: 101112
Разбиваем на триады, начиная справа: 10 111
Дописываем нули слева, если нужно: 010 111
Переводим каждую триаду в восьмеричную цифру:
\( 010_2 = 2_8 \)
\( 111_2 = 7_8 \)
Получаем: 278
Дробная часть: 011112
Разбиваем на триады, начиная слева: 011 11
Дописываем нули справа, если нужно: 011 110
Переводим каждую триаду в восьмеричную цифру:
\( 011_2 = 3_8 \)
\( 110_2 = 6_8 \)
Получаем: 368
Итого: 27,368
Ответ: 10111,011112 = 27,368
В шестнадцатеричную систему (тетрадами):
Целая часть: 101112
Разбиваем на тетрады, начиная справа: 1 0111
Дописываем нули слева, если нужно: 0001 0111
Переводим каждую тетраду в шестнадцатеричную цифру:
\( 0001_2 = 1_{16} \)
\( 0111_2 = 7_{16} \)
Получаем: 1716
Дробная часть: 011112
Разбиваем на тетрады, начиная слева: 0111 1
Дописываем нули справа, если нужно: 0111 1000
Переводим каждую тетраду в шестнадцатеричную цифру:
\( 0111_2 = 7_{16} \)
\( 1000_2 = 8_{16} \)
Получаем: 7816
Итого: 17,7816
Ответ: 10111,011112 = 17,7816