Решение контрольной работы по математике 6 класс: Смешанные числа (Вариант 1)

Хорошо, давайте решим задачи из "Контрольной работы. Действия со смешанными числами" для 6 класса. Я буду решать задачи из Варианта 1. --- Контрольная работа. Действия со смешанными числами 6 класс Вариант 1 1. Найдите значение выражения: а) \(3\frac{4}{7} - 2\frac{3}{5}\); б) \(6\frac{2}{5} + 2\frac{3}{5}\). 4 балла Решение: а) Чтобы вычесть смешанные числа, сначала вычтем целые части, а затем дробные. Если дробные части вычесть нельзя, то займем единицу у целой части. \(3\frac{4}{7} - 2\frac{3}{5}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 5 — это 35. \(\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}\) \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}\) Теперь выражение выглядит так: \(3\frac{20}{35} - 2\frac{21}{35}\) Мы видим, что из \(\frac{20}{35}\) нельзя вычесть \(\frac{21}{35}\). Поэтому займем единицу у целой части 3. \(3\frac{20}{35} = 2 + 1 + \frac{20}{35} = 2 + \frac{35}{35} + \frac{20}{35} = 2\frac{55}{35}\) Теперь выполним вычитание: \(2\frac{55}{35} - 2\frac{21}{35} = (2-2) + (\frac{55}{35} - \frac{21}{35}) = 0 + \frac{55-21}{35} = \frac{34}{35}\) Ответ: \(\frac{34}{35}\) б) Чтобы сложить смешанные числа, сначала сложим целые части, а затем дробные. \(6\frac{2}{5} + 2\frac{3}{5}\) Сложим целые части: \(6 + 2 = 8\) Сложим дробные части: \(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2+3}{5} = \frac{5}{5} = 1\) Теперь сложим полученные результаты: \(8 + 1 = 9\) Ответ: \(9\) --- б) \(4\frac{5}{14} + (5\frac{1}{12} - 3\frac{4}{21})\). 4 балла Решение: Сначала выполним действие в скобках: \(5\frac{1}{12} - 3\frac{4}{21}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12 и 21. Разложим на простые множители: \(12 = 2^2 \cdot 3\) \(21 = 3 \cdot 7\) Наименьшее общее кратное (НОК) = \(2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84\) Приведем дроби к знаменателю 84: \(\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{7}{84}\) \(\frac{4}{21} = \frac{4 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{16}{84}\) Теперь выражение в скобках: \(5\frac{7}{84} - 3\frac{16}{84}\) Из \(\frac{7}{84}\) нельзя вычесть \(\frac{16}{84}\). Займем единицу у целой части 5. \(5\frac{7}{84} = 4 + 1 + \frac{7}{84} = 4 + \frac{84}{84} + \frac{7}{84} = 4\frac{91}{84}\) Выполним вычитание в скобках: \(4\frac{91}{84} - 3\frac{16}{84} = (4-3) + (\frac{91}{84} - \frac{16}{84}) = 1 + \frac{91-16}{84} = 1 + \frac{75}{84}\) Дробь \(\frac{75}{84}\) можно сократить на 3: \(\frac{75 \div 3}{84 \div 3} = \frac{25}{28}\) Итак, результат в скобках: \(1\frac{25}{28}\) Теперь выполним сложение: \(4\frac{5}{14} + 1\frac{25}{28}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 14 и 28 — это 28. \(\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{10}{28}\) Теперь сложим: \(4\frac{10}{28} + 1\frac{25}{28} = (4+1) + (\frac{10}{28} + \frac{25}{28}) = 5 + \frac{10+25}{28} = 5 + \frac{35}{28}\) Выделим целую часть из неправильной дроби \(\frac{35}{28}\): \(\frac{35}{28} = 1\frac{7}{28}\) Сократим дробь \(\frac{7}{28}\) на 7: \(\frac{7 \div 7}{28 \div 7} = \frac{1}{4}\) Итак, \(\frac{35}{28} = 1\frac{1}{4}\) Теперь сложим: \(5 + 1\frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}\) Ответ: \(6\frac{1}{4}\) --- 2. На одну автомашину положили \(2\frac{1}{3}\) т груза, а на вторую на \(1\frac{3}{4}\) т больше. Сколько всего тонн груза положили на обе автомашины? 2 балла Решение: 1. Найдем, сколько тонн груза положили на вторую автомашину. На вторую автомашину положили на \(1\frac{3}{4}\) т больше, чем на первую. На первую автомашину положили \(2\frac{1}{3}\) т. Значит, на вторую автомашину положили: \(2\frac{1}{3} + 1\frac{3}{4}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 — это 12. \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) Сложим: \(2\frac{4}{12} + 1\frac{9}{12} = (2+1) + (\frac{4}{12} + \frac{9}{12}) = 3 + \frac{4+9}{12} = 3 + \frac{13}{12}\) Выделим целую часть из неправильной дроби \(\frac{13}{12}\): \(\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}\) Теперь сложим: \(3 + 1\frac{1}{12} = 4\frac{1}{12}\) т груза положили на вторую автомашину. 2. Найдем, сколько всего тонн груза положили на обе автомашины. На первую автомашину: \(2\frac{1}{3}\) т На вторую автомашину: \(4\frac{1}{12}\) т Всего: \(2\frac{1}{3} + 4\frac{1}{12}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 12 — это 12. \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}\) Сложим: \(2\frac{4}{12} + 4\frac{1}{12} = (2+4) + (\frac{4}{12} + \frac{1}{12}) = 6 + \frac{4+1}{12} = 6 + \frac{5}{12} = 6\frac{5}{12}\) Ответ: На обе автомашины положили \(6\frac{5}{12}\) тонн груза. --- 3. Решите уравнение: \(8\frac{9}{26} - x = 5\frac{7}{39}\). 4 балла Решение: Это уравнение вида \(a - x = b\), где \(x\) — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: \(x = a - b\). \(x = 8\frac{9}{26} - 5\frac{7}{39}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 26 и 39. Разложим на простые множители: \(26 = 2 \cdot 13\) \(39 = 3 \cdot 13\) Наименьшее общее кратное (НОК) = \(2 \cdot 3 \cdot 13 = 6 \cdot 13 = 78\) Приведем дроби к знаменателю 78: \(\frac{9}{26} = \frac{9 \cdot 3}{26 \cdot 3} = \frac{27}{78}\) \(\frac{7}{39} = \frac{7 \cdot 2}{39 \cdot 2} = \frac{14}{78}\) Теперь выполним вычитание: \(x = 8\frac{27}{78} - 5\frac{14}{78}\) Вычтем целые части: \(8 - 5 = 3\) Вычтем дробные части: \(\frac{27}{78} - \frac{14}{78} = \frac{27-14}{78} = \frac{13}{78}\) Соединим целую и дробную части: \(x = 3\frac{13}{78}\) Дробь \(\frac{13}{78}\) можно сократить на 13: \(\frac{13 \div 13}{78 \div 13} = \frac{1}{6}\) Итак, \(x = 3\frac{1}{6}\) Ответ: \(x = 3\frac{1}{6}\) --- 4. Ученик рассчитывал за \(1\frac{5}{6}\) ч приготовить уроки и за \(1\frac{3}{4}\) ч закончить модель корабля. Однако на всю работу он потратил на \(\frac{2}{5}\) ч меньше, чем предполагал. Сколько времени потратил ученик на всю работу? 4 балла Решение: 1. Найдем, сколько времени ученик предполагал потратить на всю работу. На уроки: \(1\frac{5}{6}\) ч На модель корабля: \(1\frac{3}{4}\) ч Всего предполагал: \(1\frac{5}{6} + 1\frac{3}{4}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 4 — это 12. \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) Сложим: \(1\frac{10}{12} + 1\frac{9}{12} = (1+1) + (\frac{10}{12} + \frac{9}{12}) = 2 + \frac{10+9}{12} = 2 + \frac{19}{12}\) Выделим целую часть из неправильной дроби \(\frac{19}{12}\): \(\frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}\) Теперь сложим: \(2 + 1\frac{7}{12} = 3\frac{7}{12}\) ч — столько времени ученик предполагал потратить. 2. Найдем, сколько времени ученик потратил на всю работу на самом деле. Он потратил на \(\frac{2}{5}\) ч меньше, чем предполагал. Значит, фактически потратил: \(3\frac{7}{12} - \frac{2}{5}\) Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12 и 5 — это 60. \(\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}\) \(\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{24}{60}\) Выполним вычитание: \(3\frac{35}{60} - \frac{24}{60} = 3 + (\frac{35}{60} - \frac{24}{60}) = 3 + \frac{35-24}{60} = 3 + \frac{11}{60} = 3\frac{11}{60}\) Ответ: Ученик потратил на всю работу \(3\frac{11}{60}\) часа. --- Максимальное количество баллов, которое может получить обучающийся за выполнение всей работы 14 баллов. Перевод полученных обучающимся баллов за выполнение работы в пятибалльную систему оценивания осуществляется с учетом приведенной ниже шкалы перевода. Шкала перевода баллов в пятибалльную отметку | Диапазон баллов | 0-2 | 3-9 | 10-12 | 13-14 | |---|---|---|---|---| | Отметка по пятибалльной шкале | 2 (неудовл.) | 3 (удовл.) | 4 (хорошо) | 5 (отлично) |