Решение уравнения: пропорция и уравнения с дробями

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
1. Решите уравнения: а) \( \frac{6}{x} = \frac{3}{38} \) Решение: Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. \( 6 \cdot 38 = x \cdot 3 \) \( 228 = 3x \) Теперь разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти \(x\). \( x = \frac{228}{3} \) \( x = 76 \) Ответ: \( x = 76 \)
б) \( x - \frac{8}{15} = 4\frac{1}{5} \) Решение: Сначала переведем смешанную дробь \( 4\frac{1}{5} \) в неправильную дробь. \( 4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{20 + 1}{5} = \frac{21}{5} \) Теперь уравнение выглядит так: \( x - \frac{8}{15} = \frac{21}{5} \) Чтобы найти \(x\), нужно прибавить \( \frac{8}{15} \) к обеим частям уравнения. \( x = \frac{21}{5} + \frac{8}{15} \) Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 15. \( \frac{21}{5} = \frac{21 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{63}{15} \) Теперь сложим дроби: \( x = \frac{63}{15} + \frac{8}{15} \) \( x = \frac{63 + 8}{15} \) \( x = \frac{71}{15} \) Можно перевести неправильную дробь в смешанную: \( \frac{71}{15} = 4\frac{11}{15} \) Ответ: \( x = \frac{71}{15} \) или \( x = 4\frac{11}{15} \)
2. Вычислить \( 1\frac{5}{17} \cdot \left(7 - 2\frac{4}{11}\right) \) Решение: Сначала выполним действие в скобках. \( 7 - 2\frac{4}{11} \) Представим 7 как дробь со знаменателем 11: \( 7 = \frac{7 \cdot 11}{11} = \frac{77}{11} \) Переведем смешанную дробь \( 2\frac{4}{11} \) в неправильную: \( 2\frac{4}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{22 + 4}{11} = \frac{26}{11} \) Теперь вычтем: \( \frac{77}{11} - \frac{26}{11} = \frac{77 - 26}{11} = \frac{51}{11} \) Теперь умножим полученный результат на \( 1\frac{5}{17} \). Сначала переведем \( 1\frac{5}{17} \) в неправильную дробь: \( 1\frac{5}{17} = \frac{1 \cdot 17 + 5}{17} = \frac{17 + 5}{17} = \frac{22}{17} \) Теперь выполним умножение: \( \frac{22}{17} \cdot \frac{51}{11} \) Можно сократить дроби перед умножением. 22 и 11 сокращаются на 11 (22:11=2, 11:11=1). 51 и 17 сокращаются на 17 (51:17=3, 17:17=1). \( \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} = 2 \cdot 3 = 6 \) Ответ: 6
3. Из 6 кг семян получается 2,7 кг масла. Сколько масла получится из 34 кг семян? Решение: Это задача на пропорции. Пусть \(x\) кг масла получится из 34 кг семян. Составим пропорцию: \( \frac{6 \text{ кг семян}}{2,7 \text{ кг масла}} = \frac{34 \text{ кг семян}}{x \text{ кг масла}} \) \( \frac{6}{2,7} = \frac{34}{x} \) Чтобы найти \(x\), используем свойство пропорции: \( 6 \cdot x = 2,7 \cdot 34 \) \( 6x = 91,8 \) Разделим обе части на 6: \( x = \frac{91,8}{6} \) \( x = 15,3 \) Ответ: Из 34 кг семян получится 15,3 кг масла.
4. Из квадрата со стороной 8 см надо вырезать прямоугольник с площадью 25% от площади квадрата. В ответе укажите ваш пример размеров прямоугольника. Решение: 1. Найдем площадь квадрата. Сторона квадрата \(a = 8\) см. Площадь квадрата \( S_{квадрата} = a^2 \) \( S_{квадрата} = 8^2 = 64 \) см\(^2\). 2. Найдем площадь прямоугольника, которая должна составлять 25% от площади квадрата. \( 25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \) Площадь прямоугольника \( S_{прямоугольника} = S_{квадрата} \cdot 25\% \) \( S_{прямоугольника} = 64 \cdot \frac{1}{4} = 16 \) см\(^2\). 3. Теперь нужно найти такие размеры прямоугольника (длину и ширину), чтобы их произведение было равно 16 см\(^2\). Пусть длина прямоугольника будет \(l\) и ширина \(w\). \( l \cdot w = 16 \) Есть несколько вариантов целых чисел: * \( 1 \cdot 16 = 16 \) * \( 2 \cdot 8 = 16 \) * \( 4 \cdot 4 = 16 \) (это квадрат, но квадрат является частным случаем прямоугольника) Пример размеров прямоугольника: Можно выбрать, например, длину 8 см и ширину 2 см. Ответ: Площадь прямоугольника должна быть 16 см\(^2\). Пример размеров прямоугольника: длина 8 см, ширина 2 см.
5. За 4 дня 3 детей построили 8 снеговиков. Сколько снеговиков построят 3 ребенка за 3 дня. Решение: Это задача на производительность труда. 1. Найдем, сколько снеговиков строит 1 ребенок за 4 дня. 3 ребенка за 4 дня строят 8 снеговиков. Значит, 1 ребенок за 4 дня построит \( \frac{8}{3} \) снеговиков. 2. Найдем, сколько снеговиков строит 1 ребенок за 1 день. Если 1 ребенок за 4 дня строит \( \frac{8}{3} \) снеговиков, то за 1 день он построит: \( \frac{8}{3} \div 4 = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) снеговика. 3. Найдем, сколько снеговиков построят 3 ребенка за 1 день. Если 1 ребенок за 1 день строит \( \frac{2}{3} \) снеговика, то 3 ребенка за 1 день построят: \( 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \) снеговика. 4. Найдем, сколько снеговиков построят 3 ребенка за 3 дня. Если 3 ребенка за 1 день строят 2 снеговика, то за 3 дня они построят: \( 2 \cdot 3 = 6 \) снеговиков. Ответ: 3 ребенка за 3 дня построят 6 снеговиков.