1. Доказать, что треугольники подобны
Задача 13
Дано:
Треугольник \(ABC\): \(AB = 3\), \(BC = 3.2\)
Треугольник \(KMN\): \(KM = 6.4\), \(MN = 7\), \(\angle M = 70^\circ\)
В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 70^\circ\)
Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle KMN\)
Решение:
Для того чтобы доказать подобие двух треугольников по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), необходимо, чтобы две стороны одного треугольника были пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, были равны.
1. Сравним углы:
У нас дано, что \(\angle B = 70^\circ\) в \(\triangle ABC\) и \(\angle M = 70^\circ\) в \(\triangle KMN\).
Значит, \(\angle B = \angle M\).
2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам:
Для \(\triangle ABC\) стороны, прилежащие к \(\angle B\), это \(AB\) и \(BC\).
Для \(\triangle KMN\) стороны, прилежащие к \(\angle M\), это \(KM\) и \(MN\).
Составим отношения сторон:
\[ \frac{AB}{KM} = \frac{3}{6.4} \]
\[ \frac{BC}{MN} = \frac{3.2}{7} \]
Вычислим значения отношений:
\[ \frac{3}{6.4} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \approx 0.46875 \]
\[ \frac{3.2}{7} = \frac{32}{70} = \frac{16}{35} \approx 0.45714 \]
Так как \(\frac{15}{32} \neq \frac{16}{35}\), то стороны не пропорциональны.
Возможно, стороны нужно сравнивать в другом порядке, например, \(AB\) с \(MN\) и \(BC\) с \(KM\).
Составим другие отношения сторон:
\[ \frac{AB}{MN} = \frac{3}{7} \approx 0.42857 \]
\[ \frac{BC}{KM} = \frac{3.2}{6.4} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} = 0.5 \]
Так как \(\frac{3}{7} \neq \frac{1}{2}\), то и в этом случае стороны не пропорциональны.
Вывод: На основании предоставленных данных, треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle KMN\) не являются подобными, так как хотя углы \(\angle B\) и \(\angle M\) равны, прилежащие к ним стороны не пропорциональны.
Примечание: Возможно, в условии задачи допущена опечатка в значениях сторон, или же предполагается, что нужно доказать подобие по другому признаку, но для этого не хватает данных. Если бы, например, \(KM = 6\), то \(\frac{AB}{KM} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) и \(\frac{BC}{MN} = \frac{3.2}{6.4} = \frac{1}{2}\), тогда треугольники были бы подобны. Но по данным условиям они не подобны.
Задача 10
Дано:
Треугольник \(AMK\): \(\angle A = 75^\circ\), \(\angle M = 48^\circ\)
Треугольник \(BRC\): \(\angle B = 45^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\)
Доказать: \(\triangle AMK \sim \triangle BRC\)
Решение:
Для того чтобы доказать подобие двух треугольников по первому признаку подобия (по двум углам), необходимо, чтобы два угла одного треугольника были равны двум углам другого треугольника.
1. Найдем третий угол в \(\triangle AMK\):
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
\[ \angle K = 180^\circ - \angle A - \angle M \]
\[ \angle K = 180^\circ - 75^\circ - 48^\circ \]
\[ \angle K = 180^\circ - 123^\circ \]
\[ \angle K = 57^\circ \]
2. Найдем третий угол в \(\triangle BRC\):
\[ \angle R = 180^\circ - \angle B - \angle C \]
\[ \angle R = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ \]
\[ \angle R = 180^\circ - 105^\circ \]
\[ \angle R = 75^\circ \]
3. Сравним углы двух треугольников:
В \(\triangle AMK\) углы: \(75^\circ, 48^\circ, 57^\circ\).
В \(\triangle BRC\) углы: \(45^\circ, 60^\circ, 75^\circ\).
Мы видим, что \(\angle A = 75^\circ\) в \(\triangle AMK\) и \(\angle R = 75^\circ\) в \(\triangle BRC\).
Однако, других равных углов нет (\(48^\circ \neq 45^\circ\), \(48^\circ \neq 60^\circ\), \(57^\circ \neq 45^\circ\), \(57^\circ \neq 60^\circ\)).
Вывод: Так как только один угол одного треугольника равен одному углу другого треугольника, а для подобия по первому признаку необходимо равенство двух углов, то треугольники \(\triangle AMK\) и \(\triangle BRC\) не являются подобными.
Примечание: Возможно, в условии задачи допущена опечатка в значениях углов.
Задача 3
Дано:
Треугольник \(PMN\): \(PM = 32\), \(MN = 24\)
Треугольник \(DEF\): \(DE = 4\), \(EF = 3\)
Угол \(\angle M\) в \(\triangle PMN\) и угол \(\angle E\) в \(\triangle DEF\) являются прямыми (\(90^\circ\)).
Доказать: \(\triangle PMN \sim \triangle DEF\)
Решение:
Для того чтобы доказать подобие двух прямоугольных треугольников, достаточно, чтобы острый угол одного треугольника был равен острому углу другого треугольника, или чтобы катеты одного треугольника были пропорциональны катетам другого треугольника.
1. Сравним углы:
У нас дано, что \(\angle M = 90^\circ\) в \(\triangle PMN\) и \(\angle E = 90^\circ\) в \(\triangle DEF\).
Значит, \(\angle M = \angle E\).
2. Проверим пропорциональность катетов:
Катеты в \(\triangle PMN\) это \(PM\) и \(MN\).
Катеты в \(\triangle DEF\) это \(DE\) и \(EF\).
Составим отношения катетов:
\[ \frac{PM}{DE} = \frac{32}{4} = 8 \]
\[ \frac{MN}{EF} = \frac{24}{3} = 8 \]
Так как \(\frac{PM}{DE} = \frac{MN}{EF} = 8\), то катеты пропорциональны.
Вывод: Треугольники \(\triangle PMN\) и \(\triangle DEF\) подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), так как \(\angle M = \angle E = 90^\circ\) и прилежащие к этим углам стороны пропорциональны.
Коэффициент подобия \(k = 8\).
2. Средняя линия треугольника
Задача 1
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AB = 16\)
\(BC = 18\)
\(AC = 20\)
\(M\) - середина \(AB\)
\(N\) - середина \(BC\)
\(K\) - середина \(AC\)
Найти: \(P_{\triangle MNK}\)
Решение:
Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
1. Найдем длины сторон треугольника \(\triangle MNK\):
Отрезок \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\). Значит, \(MN\) - средняя линия \(\triangle ABC\), параллельная \(AC\).
\[ MN = \frac{1}{2} AC \]
\[ MN = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \]
Отрезок \(NK\) соединяет середины сторон \(BC\) и \(AC\). Значит, \(NK\) - средняя линия \(\triangle ABC\), параллельная \(AB\).
\[ NK = \frac{1}{2} AB \]
\[ NK = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \]
Отрезок \(MK\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(AC\). Значит, \(MK\) - средняя линия \(\triangle ABC\), параллельная \(BC\).
\[ MK = \frac{1}{2} BC \]
\[ MK = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \]
2. Найдем периметр треугольника \(\triangle MNK\):
Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон.
\[ P_{\triangle MNK} = MN + NK + MK \]
\[ P_{\triangle MNK} = 10 + 8 + 9 \]
\[ P_{\triangle MNK} = 27 \]
Ответ: \(P_{\triangle MNK} = 27\).
Задача 3
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(A_1, B_1, C_1\) - середины сторон \(BC, AC, AB\) соответственно.
\(P_{\triangle ABC} = 40\)
Найти: \(P_{\triangle A_1B_1C_1}\)
Решение:
Треугольник, образованный средними линиями, называется срединным треугольником. Каждая сторона срединного треугольника является средней линией исходного треугольника.
1. Выразим стороны \(\triangle A_1B_1C_1\) через стороны \(\triangle ABC\):
Сторона \(A_1B_1\) соединяет середины сторон \(BC\) и \(AC\). Значит, \(A_1B_1\) - средняя линия \(\triangle ABC\), параллельная \(AB\).
\[ A_1B_1 = \frac{1}{2} AB \]
Сторона \(B_1C_1\) соединяет середины сторон \(AC\) и \(AB\). Значит, \(B_1C_1\) - средняя линия \(\triangle ABC\), параллельная \(BC\).
\[ B_1C_1 = \frac{1}{2} BC \]
Сторона \(A_1C_1\) соединяет середины сторон \(BC\) и \(AB\). Значит, \(A_1C_1\) - средняя линия \(\triangle ABC\), параллельная \(AC\).
\[ A_1C_1 = \frac{1}{2} AC \]
2. Найдем периметр \(\triangle A_1B_1C_1\):
\[ P_{\triangle A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 \]
Подставим выражения для сторон:
\[ P_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AC \]
Вынесем \(\frac{1}{2}\) за скобки:
\[ P_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} (AB + BC + AC) \]
Мы знаем, что \(P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 40\).
\[ P_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot P_{\triangle ABC} \]
\[ P_{\triangle A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 40 \]
\[ P_{\triangle A_1B_1C_1} = 20 \]
Ответ: \(P_{\triangle A_1B_1C_1} = 20\).
Задача (без номера, с периметром \(P_{ABC}\))
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(M\) - середина \(AB\)
\(N\) - середина \(BC\)
\(K\) - середина \(AC\)
\(MN = 4\)
\(NK = 5\)
\(MK = 6\)
Найти: \(P_{\triangle ABC}\)
Решение:
Как и в предыдущих задачах, отрезки \(MN, NK, MK\) являются средними линиями \(\triangle ABC\).
1. Выразим стороны \(\triangle ABC\) через стороны \(\triangle MNK\):
Отрезок \(MN\) - средняя линия, параллельная \(AC\).
\[ MN = \frac{1}{2} AC \implies AC = 2 \cdot MN \]
\[ AC = 2 \cdot 4 = 8 \]
Отрезок \(NK\) - средняя линия, параллельная \(AB\).
\[ NK = \frac{1}{2} AB \implies AB = 2 \cdot NK \]
\[ AB = 2 \cdot 5 = 10 \]
Отрезок \(MK\) - средняя линия, параллельная \(BC\).
\[ MK = \frac{1}{2} BC \implies BC = 2 \cdot MK \]
\[ BC = 2 \cdot 6 = 12 \]
2. Найдем периметр \(\triangle ABC\):
\[ P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC \]
\[ P_{\triangle ABC} = 10 + 12 + 8 \]
\[ P_{\triangle ABC} = 30 \]
Ответ: \(P_{\triangle ABC} = 30\).
Задача № 5
Дано:
\(\triangle CKM\) - равносторонний
\(CK = 8\) см
\(D\) - середина \(CK\)
\(N\) - середина \(KM\)
\(S\) - середина \(CM\)
Найти: периметр \(\triangle DNS\)
Решение:
1. Определим длины сторон равностороннего \(\triangle CKM\):
Так как \(\triangle CKM\) равносторонний, все его стороны равны.
\[ CK = KM = CM = 8 \] см
2. Определим, что такое \(\triangle DNS\):
Точки \(D, N, S\) являются серединами сторон \(\triangle CKM\).
Значит, \(\triangle DNS\) - это срединный треугольник для \(\triangle CKM\).
3. Найдем длины сторон \(\triangle DNS\):
Сторона \(DN\) соединяет середины \(CK\) и \(KM\). Значит, \(DN\) - средняя линия \(\triangle CKM\), параллельная \(CM\).
\[ DN = \frac{1}{2} CM \]
\[ DN = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \] см
Сторона \(NS\) соединяет середины \(KM\) и \(CM\). Значит, \(NS\) - средняя линия \(\triangle CKM\), параллельная \(CK\).
\[ NS = \frac{1}{2} CK \]
\[ NS = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \] см
Сторона \(DS\) соединяет середины \(CK\) и \(CM\). Значит, \(DS\) - средняя линия \(\triangle CKM\), параллельная \(KM\).
\[ DS = \frac{1}{2} KM \]
\[ DS = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \] см
4. Найдем периметр \(\triangle DNS\):
\[ P_{\triangle DNS} = DN + NS + DS \]
\[ P_{\triangle DNS} = 4 + 4 + 4 \]
\[ P_{\triangle DNS} = 12 \] см
Примечание: Срединный треугольник равностороннего треугольника также является равносторонним.
Ответ: Периметр \(\triangle DNS = 12\) см.