Решение задач из Варианта 2: Упрощение выражений с корнями

Вот решения задач из "Варианта 2", оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Вариант 2 1. Упростите выражение: а) \(2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98}\) Решение: Разложим числа под корнями на множители, чтобы выделить полные квадраты: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \) Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \( 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} \) Сложим и вычтем коэффициенты при \(\sqrt{2}\): \( (2 + 5 - 7)\sqrt{2} = (7 - 7)\sqrt{2} = 0\sqrt{2} = 0 \) Ответ: \(0\) б) \((3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}\) Решение: Сначала упростим \(\sqrt{20}\): \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \) Теперь подставим это в выражение в скобках: \( (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} \) Выполним вычитание в скобках: \( (3 - 2)\sqrt{5} = 1\sqrt{5} = \sqrt{5} \) Теперь умножим результат на \(\sqrt{5}\): \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \) Ответ: \(5\) в) \((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\) Решение: Используем формулу квадрата суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Здесь \(a = \sqrt{3}\) и \(b = \sqrt{2}\). \( (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \) \( 3 + 2\sqrt{3 \cdot 2} + 2 \) \( 3 + 2\sqrt{6} + 2 \) Сложим целые числа: \( 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} \) Ответ: \(5 + 2\sqrt{6}\) 2. Сравните \(\frac{1}{2}\sqrt{60}\) и \(10\sqrt{\frac{1}{5}}\). Решение: Чтобы сравнить два выражения, удобно внести множитель под знак корня или извлечь множитель из-под знака корня, чтобы получить одинаковые корни, или возвести оба выражения в квадрат. Давайте внесем множители под знак корня. Для первого выражения: \(\frac{1}{2}\sqrt{60}\) Внесем \(\frac{1}{2}\) под корень. При этом \(\frac{1}{2}\) превратится в \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\). \( \frac{1}{2}\sqrt{60} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 60} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 60} = \sqrt{\frac{60}{4}} = \sqrt{15} \) Для второго выражения: \(10\sqrt{\frac{1}{5}}\) Внесем \(10\) под корень. При этом \(10\) превратится в \(10^2 = 100\). \( 10\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{10^2 \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{100}{5}} = \sqrt{20} \) Теперь сравним \(\sqrt{15}\) и \(\sqrt{20}\). Так как \(15 < 20\), то \(\sqrt{15} < \sqrt{20}\). Следовательно, \(\frac{1}{2}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}}\) 3. Сократите дробь: а) \(\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}\) Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе \(5 - \sqrt{5}\) можно вынести \(\sqrt{5}\) за скобки: \( 5 - \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1) \) В знаменателе \(\sqrt{10} - \sqrt{2}\) можно вынести \(\sqrt{2}\) за скобки: \( \sqrt{10} - \sqrt{2} = \sqrt{5 \cdot 2} - \sqrt{2} = \sqrt{5}\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - 1) \) Теперь подставим эти выражения обратно в дробь: \( \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} \) Сократим одинаковый множитель \((\sqrt{5} - 1)\) в числителе и знаменателе: \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \( \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \) Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) б) \(\frac{b - 4}{\sqrt{b} - 2}\) Решение: Заметим, что числитель \(b - 4\) можно представить как разность квадратов, если \(b = (\sqrt{b})^2\) и \(4 = 2^2\). Тогда \(b - 4 = (\sqrt{b})^2 - 2^2 = (\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)\). Теперь подставим это в дробь: \( \frac{(\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)}{\sqrt{b} - 2} \) Сократим одинаковый множитель \((\sqrt{b} - 2)\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(\sqrt{b} - 2 \neq 0\), то есть \(b \neq 4\)): \( \sqrt{b} + 2 \) Ответ: \(\sqrt{b} + 2\) 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) \(\frac{2}{3\sqrt{7}}\) Решение: Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\): \( \frac{2 \cdot \sqrt{7}}{3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21} \) Ответ: \(\frac{2\sqrt{7}}{21}\) б) \(\frac{4}{\sqrt{11} + 3}\) Решение: Чтобы избавиться от корня в знаменателе, который является суммой, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное к \(\sqrt{11} + 3\) это \(\sqrt{11} - 3\). Используем формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). \( \frac{4 \cdot (\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11} + 3)(\sqrt{11} - 3)} \) \( \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11})^2 - 3^2} \) \( \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{11 - 9} \) \( \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{2} \) Сократим \(4\) и \(2\): \( 2(\sqrt{11} - 3) \) Ответ: \(2(\sqrt{11} - 3)\) 5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{1 - 3\sqrt{5}} + \frac{1}{1 + 3\sqrt{5}}\) есть число рациональное. Решение: Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей: \((1 - 3\sqrt{5})(1 + 3\sqrt{5})\). Это произведение является разностью квадратов: \((1 - 3\sqrt{5})(1 + 3\sqrt{5}) = 1^2 - (3\sqrt{5})^2\). \( \frac{1 \cdot (1 + 3\sqrt{5})}{(1 - 3\sqrt{5})(1 + 3\sqrt{5})} + \frac{1 \cdot (1 - 3\sqrt{5})}{(1 + 3\sqrt{5})(1 - 3\sqrt{5})} \) \( \frac{1 + 3\sqrt{5} + 1 - 3\sqrt{5}}{(1)^2 - (3\sqrt{5})^2} \) В числителе \(3\sqrt{5}\) и \(-3\sqrt{5}\) взаимно уничтожаются: \( 1 + 1 = 2 \) В знаменателе: \( 1^2 - (3\sqrt{5})^2 = 1 - (3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 1 - (9 \cdot 5) = 1 - 45 = -44 \) Теперь подставим эти значения обратно в дробь: \( \frac{2}{-44} \) Сократим дробь: \( \frac{2}{-44} = -\frac{1}{22} \) Число \(-\frac{1}{22}\) является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) - целые числа, и \(q \neq 0\). Что и требовалось доказать. 6. При каких значениях \(a\) дробь \(\frac{\sqrt{a} - 5}{a - 25}\) принимает наибольшее значение? Решение: Сначала упростим дробь. Заметим, что знаменатель \(a - 25\) можно представить как разность квадратов: \(a - 25 = (\sqrt{a})^2 - 5^2 = (\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)\). Тогда дробь примет вид: \( \frac{\sqrt{a} - 5}{(\sqrt{a} - 5)(\sqrt{a} + 5)} \) Сократим множитель \((\sqrt{a} - 5)\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(\sqrt{a} - 5 \neq 0\), то есть \(a \neq 25\)): \( \frac{1}{\sqrt{a} + 5} \) Теперь нам нужно найти, при каких значениях \(a\) это выражение принимает наибольшее значение. Для того чтобы дробь \(\frac{1}{\sqrt{a} + 5}\) была наибольшей, её знаменатель \(\sqrt{a} + 5\) должен быть наименьшим (но положительным, так как числитель положительный). Из определения квадратного корня, \(\sqrt{a}\) определен для \(a \ge 0\). Наименьшее возможное значение \(\sqrt{a}\) равно \(0\), когда \(a = 0\). Если \(\sqrt{a} = 0\), то знаменатель равен \(0 + 5 = 5\). В этом случае значение дроби будет \(\frac{1}{5}\). Если \(a\) будет увеличиваться, то \(\sqrt{a}\) будет увеличиваться, и знаменатель \(\sqrt{a} + 5\) будет увеличиваться. При увеличении знаменателя, значение дроби будет уменьшаться. Например, если \(a = 1\), то \(\frac{1}{\sqrt{1} + 5} = \frac{1}{1 + 5} = \frac{1}{6}\). Если \(a = 4\), то \(\frac{1}{\sqrt{4} + 5} = \frac{1}{2 + 5} = \frac{1}{7}\). \(\frac{1}{5} > \frac{1}{6} > \frac{1}{7}\). Таким образом, наибольшее значение дробь принимает при наименьшем возможном значении \(\sqrt{a}\), то есть при \(a = 0\). При этом \(a=0\) удовлетворяет условию \(a \neq 25\). Ответ: Дробь принимает наибольшее значение при \(a = 0\).