Решение задачи 6 Вариант 2

Хорошо, я продолжу решение задач из "Варианта 2", оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Вариант 2 6. При каких значениях \(x\) дробь \(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\) принимает наибольшее значение? Решение: Сначала упростим дробь. Заметим, что знаменатель \(x - 4\) можно представить как разность квадратов: \(x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)\). Тогда дробь примет вид: \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Сократим множитель \((\sqrt{x} - 2)\) в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что \(\sqrt{x} - 2 \neq 0\), то есть \(\sqrt{x} \neq 2\), что означает \(x \neq 4\). \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \] Теперь нам нужно найти, при каких значениях \(x\) это выражение принимает наибольшее значение. Для того чтобы дробь \(\frac{1}{\sqrt{x} + 2}\) была наибольшей, её знаменатель \(\sqrt{x} + 2\) должен быть наименьшим (но положительным, так как числитель положительный). Из определения квадратного корня, \(\sqrt{x}\) определен для \(x \ge 0\). Наименьшее возможное значение \(\sqrt{x}\) равно \(0\), когда \(x = 0\). Если \(\sqrt{x} = 0\), то знаменатель равен \(0 + 2 = 2\). В этом случае значение дроби будет \(\frac{1}{2}\). Если \(x\) будет увеличиваться (при \(x > 0\)), то \(\sqrt{x}\) будет увеличиваться, и знаменатель \(\sqrt{x} + 2\) будет увеличиваться. При увеличении знаменателя, значение дроби будет уменьшаться. Например, если \(x = 1\), то \(\frac{1}{\sqrt{1} + 2} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}\). Если \(x = 9\), то \(\frac{1}{\sqrt{9} + 2} = \frac{1}{3 + 2} = \frac{1}{5}\). Мы видим, что \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{5}\). Таким образом, наибольшее значение дробь принимает при наименьшем возможном значении \(\sqrt{x}\), то есть при \(x = 0\). При этом \(x=0\) удовлетворяет условию \(x \neq 4\). Ответ: Дробь принимает наибольшее значение при \(x = 0\).