Упрощение выражений с корнями: Решение для школьников

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Упростите выражение: а) \(2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98}\) Решение: Разложим числа под корнями на множители, чтобы выделить полные квадраты: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \) Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \( 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} \) Сложим и вычтем коэффициенты при \(\sqrt{2}\): \( (2 + 5 - 7)\sqrt{2} = (7 - 7)\sqrt{2} = 0\sqrt{2} = 0 \) Ответ: \(0\) б) \((3\sqrt{5} - \sqrt{20})\sqrt{5}\) Решение: Упростим \(\sqrt{20}\): \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \) Подставим это в выражение: \( (3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})\sqrt{5} \) Выполним вычитание в скобках: \( (3 - 2)\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 1\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \) Помним, что \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\): \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \) Ответ: \(5\) в) \((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\) Решение: Используем формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \( (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \) Вычислим квадраты и произведение корней: \( (\sqrt{3})^2 = 3 \) \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) \( 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{3 \cdot 2} = 2\sqrt{6} \) Подставим эти значения: \( 3 + 2\sqrt{6} + 2 \) Сложим рациональные числа: \( 5 + 2\sqrt{6} \) Ответ: \(5 + 2\sqrt{6}\) 2. Сравните \(\frac{1}{2}\sqrt{60}\) и \(10\sqrt{\frac{1}{5}}\). Решение: Упростим каждое выражение. Для первого выражения: \( \frac{1}{2}\sqrt{60} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 15} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{15} = \sqrt{15} \) Для второго выражения: \( 10\sqrt{\frac{1}{5}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \) Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \( \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \) Теперь нам нужно сравнить \(\sqrt{15}\) и \(2\sqrt{5}\). Чтобы сравнить, возведем оба числа в квадрат: \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) \( (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \) Так как \(15 < 20\), то \(\sqrt{15} < 2\sqrt{5}\). Следовательно, \(\frac{1}{2}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\sqrt{60} < 10\sqrt{\frac{1}{5}}\) 3. Сократите дробь: а) \(\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}\) Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем \(\sqrt{5}\) за скобки: \( 5 - \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1) \) В знаменателе вынесем \(\sqrt{2}\) за скобки: \( \sqrt{10} - \sqrt{2} = \sqrt{5 \cdot 2} - \sqrt{2} = \sqrt{5}\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - 1) \) Теперь подставим эти выражения обратно в дробь: \( \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)} \) Сократим одинаковые множители \((\sqrt{5} - 1)\): \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \) Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \) Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) б) \(\frac{b - 4}{\sqrt{b} - 2}\) Решение: Заметим, что числитель \(b - 4\) можно представить как разность квадратов, если \(b = (\sqrt{b})^2\) и \(4 = 2^2\). Тогда \(b - 4 = (\sqrt{b})^2 - 2^2 = (\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)\). Подставим это в дробь: \( \frac{(\sqrt{b} - 2)(\sqrt{b} + 2)}{\sqrt{b} - 2} \) Сократим одинаковые множители \((\sqrt{b} - 2)\): \( \sqrt{b} + 2 \) Ответ: \(\sqrt{b} + 2\) 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) \(\frac{2}{3\sqrt{7}}\) Решение: Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\): \( \frac{2}{3\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21} \) Ответ: \(\frac{2\sqrt{7}}{21}\) б) \(\frac{4}{\sqrt{11} + 3}\) Решение: Чтобы избавиться от корня в знаменателе, который является суммой, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, то есть на \(\sqrt{11} - 3\). Используем формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\): \( \frac{4}{\sqrt{11} + 3} \cdot \frac{\sqrt{11} - 3}{\sqrt{11} - 3} = \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{(\sqrt{11})^2 - 3^2} \) Вычислим знаменатель: \( (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2 \) Подставим это значение: \( \frac{4(\sqrt{11} - 3)}{2} \) Сократим числитель и знаменатель на 2: \( 2(\sqrt{11} - 3) \) Можно раскрыть скобки: \( 2\sqrt{11} - 6 \) Ответ: \(2\sqrt{11} - 6\) 5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{1 - 3\sqrt{5}} + \frac{1}{1 + 3\sqrt{5}}\) есть число рациональное. Решение: Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей, так как они являются сопряженными выражениями. \( \frac{1}{1 - 3\sqrt{5}} + \frac{1}{1 + 3\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (1 + 3\sqrt{5})}{(1 - 3\sqrt{5})(1 + 3\sqrt{5})} + \frac{1 \cdot (1 - 3\sqrt{5})}{(1 + 3\sqrt{5})(1 - 3\sqrt{5})} \) Сложим числители и используем формулу разности квадратов для знаменателя: \( (1 - 3\sqrt{5})(1 + 3\sqrt{5}) = 1^2 - (3\sqrt{5})^2 = 1 - (3^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 1 - (9 \cdot 5) = 1 - 45 = -44 \) Теперь сложим числители: \( (1 + 3\sqrt{5}) + (1 - 3\sqrt{5}) = 1 + 3\sqrt{5} + 1 - 3\sqrt{5} = 1 + 1 = 2 \) Подставим полученные значения в дробь: \( \frac{2}{-44} \) Сократим дробь: \( \frac{2}{-44} = -\frac{1}{22} \) Число \(-\frac{1}{22}\) является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) - целые числа, и \(q \neq 0\). Доказано. 6. При каких значениях \(x\) дробь \(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 4}\) принимает наибольшее значение? Решение: Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для \(x\). 1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\). 2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \(x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\). Таким образом, ОДЗ: \(x \in [2; 4) \cup (4; +\infty)\). Перепишем дробь, используя разность квадратов в знаменателе: \( x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 \) - это не подходит, так как у нас \(\sqrt{x-2}\). Вместо этого, представим \(x-4\) как \((\sqrt{x-2})^2 - 2^2\) - это тоже не подходит. Правильный подход: \(x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2\) - это неверно. Правильно: \(x - 4 = (\sqrt{x-2})^2 + 2 - 4 = (\sqrt{x-2})^2 - 2\). Это тоже не упрощает. Давайте попробуем другой подход. Пусть \(y = \sqrt{x-2}\). Тогда \(y \ge 0\). Из \(y = \sqrt{x-2}\) следует \(y^2 = x-2\), то есть \(x = y^2 + 2\). Подставим это в дробь: \( \frac{y}{(y^2 + 2) - 4} = \frac{y}{y^2 - 2} \) Теперь нам нужно найти наибольшее значение функции \(f(y) = \frac{y}{y^2 - 2}\) при \(y \ge 0\). Также, из \(x \neq 4\), следует \(y^2 + 2 \neq 4 \Rightarrow y^2 \neq 2 \Rightarrow y \neq \sqrt{2}\). Рассмотрим производную функции \(f(y)\) для нахождения экстремумов. \( f'(y) = \frac{1 \cdot (y^2 - 2) - y \cdot (2y)}{(y^2 - 2)^2} = \frac{y^2 - 2 - 2y^2}{(y^2 - 2)^2} = \frac{-y^2 - 2}{(y^2 - 2)^2} \) Числитель \(-y^2 - 2\) всегда отрицателен (так как \(y^2 \ge 0\), то \(-y^2 \le 0\), и \(-y^2 - 2 < 0\)). Знаменатель \((y^2 - 2)^2\) всегда положителен (кроме \(y = \sqrt{2}\), где он равен нулю, но это точка разрыва). Таким образом, \(f'(y) < 0\) для всех \(y\) в ОДЗ. Это означает, что функция \(f(y)\) является убывающей на всей своей области определения. Если функция убывает, то наибольшее значение она принимает на левой границе области определения. Наша область определения для \(y\) это \(y \in [0; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)\). На левой границе \(y=0\), что соответствует \(x-2=0 \Rightarrow x=2\). При \(x=2\), значение дроби: \( \frac{\sqrt{2 - 2}}{2 - 4} = \frac{\sqrt{0}}{-2} = \frac{0}{-2} = 0 \) Однако, если функция убывает, то она стремится к наибольшему значению при приближении к левой границе. Рассмотрим поведение функции вблизи \(y = \sqrt{2}\). Если \(y \to \sqrt{2}^-\) (то есть \(y\) приближается к \(\sqrt{2}\) слева), то \(y^2 - 2 \to 0^-\) (отрицательное число, близкое к нулю). Тогда \(f(y) = \frac{y}{y^2 - 2} \to \frac{\sqrt{2}}{0^-} \to -\infty\). Если \(y \to \sqrt{2}^+\) (то есть \(y\) приближается к \(\sqrt{2}\) справа), то \(y^2 - 2 \to 0^+\) (положительное число, близкое к нулю). Тогда \(f(y) = \frac{y}{y^2 - 2} \to \frac{\sqrt{2}}{0^+} \to +\infty\). Поскольку функция убывает на каждом из интервалов \([0; \sqrt{2})\) и \((\sqrt{2}; +\infty)\), и на интервале \((\sqrt{2}; +\infty)\) она стремится к \(\infty\), а на интервале \([0; \sqrt{2})\) она стремится к \(-\infty\), то наибольшего значения у этой функции нет. Возможно, в условии задачи подразумевается наибольшее значение на каком-то конкретном интервале, или есть опечатка. Если же вопрос стоит именно так, как написано, то функция не имеет наибольшего значения, так как она может принимать сколь угодно большие положительные значения при \(x \to 4^+\) (что соответствует \(y \to \sqrt{2}^+\)). Давайте перепроверим условие. Дробь \(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 4}\). Если \(x > 4\), то \(x-4 > 0\), \(\sqrt{x-2} > 0\), дробь положительна. Если \(2 \le x < 4\), то \(x-4 < 0\), \(\sqrt{x-2} \ge 0\), дробь отрицательна или равна нулю (при \(x=2\)). Наибольшее значение, если оно существует, должно быть положительным. Значит, нужно рассматривать \(x > 4\). Рассмотрим функцию \(g(x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 4}\) для \(x > 4\). Пусть \(t = x - 2\). Тогда \(x = t + 2\). \(g(t) = \frac{\sqrt{t}}{(t+2) - 4} = \frac{\sqrt{t}}{t - 2}\) для \(t > 2\). Пусть \(u = \sqrt{t}\). Тогда \(t = u^2\). \(h(u) = \frac{u}{u^2 - 2}\) для \(u > \sqrt{2}\). Мы уже выяснили, что производная \(h'(u) = \frac{-u^2 - 2}{(u^2 - 2)^2}\) всегда отрицательна. Значит, функция \(h(u)\) убывает на интервале \((\sqrt{2}; +\infty)\). Поскольку функция убывает, она не имеет наибольшего значения на этом интервале. Она стремится к \(\infty\) при \(u \to \sqrt{2}^+\) (что соответствует \(x \to 4^+\)) и стремится к \(0\) при \(u \to +\infty\) (что соответствует \(x \to +\infty\)). Возможно, в задаче подразумевается, что \(x\) принимает значения из некоторого ограниченного интервала, или же вопрос сформулирован некорректно для поиска абсолютного наибольшего значения. Если бы вопрос был "при каких значениях \(x\) дробь принимает наименьшее значение", то на интервале \(x > 4\) она стремится к 0 при \(x \to \infty\), но не достигает его. На интервале \(2 \le x < 4\) она стремится к \(-\infty\) при \(x \to 4^-\). Если это задача из школьного курса, то часто такие задачи имеют в виду, что нужно найти максимум, если он есть, или указать, что его нет. В данном случае, наибольшего значения нет. Ответ: Дробь не принимает наибольшего значения, так как она может быть сколь угодно большой при \(x\), стремящемся к \(4\) справа.