Решение неравенства: 1/5^(2x-11) ≥ (1/25)^(x^2+4x+24)

Давайте решим это неравенство. Исходное неравенство выглядит так: \[ \frac{1}{5^{2x-11}} \ge \left(\frac{1}{25}\right)^{x^2+4x+24} \] Шаг 1: Приведем обе части неравенства к одному основанию. Мы знаем, что \( 25 = 5^2 \). Тогда \( \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2} \). И \( \frac{1}{5^{2x-11}} = 5^{-(2x-11)} = 5^{-2x+11} \). Подставим это в неравенство: \[ 5^{-2x+11} \ge (5^{-2})^{x^2+4x+24} \] \[ 5^{-2x+11} \ge 5^{-2(x^2+4x+24)} \] \[ 5^{-2x+11} \ge 5^{-2x^2-8x-48} \] Шаг 2: Поскольку основания степеней (число 5) больше 1, мы можем сравнить показатели степеней, сохраняя знак неравенства. \[ -2x+11 \ge -2x^2-8x-48 \] Шаг 3: Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые. \[ 2x^2 - 2x + 8x + 11 + 48 \ge 0 \] \[ 2x^2 + 6x + 59 \ge 0 \] Шаг 4: Найдем дискриминант квадратного трехчлена \( 2x^2 + 6x + 59 \). Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a=2 \), \( b=6 \), \( c=59 \). \[ D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 59 \] \[ D = 36 - 8 \cdot 59 \] \[ D = 36 - 472 \] \[ D = -436 \] Шаг 5: Анализируем дискриминант. Поскольку дискриминант \( D = -436 \) отрицательный ( \( D < 0 \) ), и коэффициент при \( x^2 \) ( \( a=2 \) ) положительный ( \( a > 0 \) ), то парабола \( y = 2x^2 + 6x + 59 \) целиком находится над осью X. Это означает, что значение квадратного трехчлена \( 2x^2 + 6x + 59 \) всегда положительно для любых действительных значений \( x \). Шаг 6: Делаем вывод. Так как \( 2x^2 + 6x + 59 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), то неравенство \( 2x^2 + 6x + 59 \ge 0 \) выполняется для всех действительных чисел. Ответ: \[ x \in (-\infty; +\infty) \]