Решение неравенства (x-2)^2(x-1)^3 ≤ 0

Решим данные неравенства. 1. Неравенство: \( (x-2)^2 (x-1)^3 \le 0 \) Решение: Найдем корни каждого множителя: \( (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) \( (x-1)^3 = 0 \Rightarrow x = 1 \) Отметим эти точки на числовой прямой. Точки 1 и 2 будут закрашенными, так как неравенство нестрогое (\(\le\)). Рассмотрим интервалы: а) \( x < 1 \): Возьмем, например, \( x = 0 \). \( (0-2)^2 (0-1)^3 = (-2)^2 (-1)^3 = 4 \cdot (-1) = -4 \). \( -4 \le 0 \). Это верно. Значит, интервал \( (-\infty; 1] \) является решением. б) \( 1 < x < 2 \): Возьмем, например, \( x = 1.5 \). \( (1.5-2)^2 (1.5-1)^3 = (-0.5)^2 (0.5)^3 = 0.25 \cdot 0.125 = 0.03125 \). \( 0.03125 \le 0 \). Это неверно. Значит, интервал \( (1; 2) \) не является решением. в) \( x > 2 \): Возьмем, например, \( x = 3 \). \( (3-2)^2 (3-1)^3 = (1)^2 (2)^3 = 1 \cdot 8 = 8 \). \( 8 \le 0 \). Это неверно. Значит, интервал \( (2; +\infty) \) не является решением. Однако, при \( x=2 \), \( (2-2)^2 (2-1)^3 = 0^2 \cdot 1^3 = 0 \). \( 0 \le 0 \). Это верно. Таким образом, точка \( x=2 \) является решением. Объединяя результаты, получаем, что решением является интервал \( (-\infty; 1] \) и точка \( x=2 \). Ответ: \( (-\infty; 1] \cup \{2\} \) 2. Неравенство: \( \frac{(x-5)^2}{x} \ge 0 \) Решение: Найдем корни числителя и знаменателя: \( (x-5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5 \) \( x = 0 \) Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x=5 \) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое. Точка \( x=0 \) будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Рассмотрим интервалы: а) \( x < 0 \): Возьмем, например, \( x = -1 \). \( \frac{(-1-5)^2}{-1} = \frac{(-6)^2}{-1} = \frac{36}{-1} = -36 \). \( -36 \ge 0 \). Это неверно. Значит, интервал \( (-\infty; 0) \) не является решением. б) \( 0 < x < 5 \): Возьмем, например, \( x = 1 \). \( \frac{(1-5)^2}{1} = \frac{(-4)^2}{1} = \frac{16}{1} = 16 \). \( 16 \ge 0 \). Это верно. Значит, интервал \( (0; 5) \) является решением. в) \( x > 5 \): Возьмем, например, \( x = 6 \). \( \frac{(6-5)^2}{6} = \frac{1^2}{6} = \frac{1}{6} \). \( \frac{1}{6} \ge 0 \). Это верно. Значит, интервал \( (5; +\infty) \) является решением. При \( x=5 \), \( \frac{(5-5)^2}{5} = \frac{0}{5} = 0 \). \( 0 \ge 0 \). Это верно. Таким образом, точка \( x=5 \) является решением. Объединяя результаты, получаем, что решением является интервал \( (0; +\infty) \). Ответ: \( (0; +\infty) \) 3. Неравенство: \( \frac{x-7}{|x+6|^3} \ge 0 \) Решение: Найдем корни числителя и знаменателя: \( x-7 = 0 \Rightarrow x = 7 \) \( |x+6|^3 = 0 \Rightarrow x+6 = 0 \Rightarrow x = -6 \) Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x=7 \) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое. Точка \( x=-6 \) будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Заметим, что \( |x+6|^3 \) всегда неотрицательно, и равно нулю только при \( x=-6 \). Поскольку \( |x+6|^3 > 0 \) для всех \( x \ne -6 \), знак дроби определяется знаком числителя \( x-7 \). Нам нужно, чтобы \( \frac{x-7}{|x+6|^3} \ge 0 \). Это означает, что \( x-7 \ge 0 \) при условии \( x \ne -6 \). \( x-7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7 \). Учитывая условие \( x \ne -6 \), которое выполняется для всех \( x \ge 7 \), получаем, что решением является интервал \( [7; +\infty) \). Ответ: \( [7; +\infty) \) 4. Неравенство: \( \frac{|8-x|}{(9-x)^3} \ge 0 \) Решение: Найдем корни числителя и знаменателя: \( |8-x| = 0 \Rightarrow 8-x = 0 \Rightarrow x = 8 \) \( (9-x)^3 = 0 \Rightarrow 9-x = 0 \Rightarrow x = 9 \) Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x=8 \) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое. Точка \( x=9 \) будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Заметим, что \( |8-x| \) всегда неотрицательно, и равно нулю только при \( x=8 \). Поскольку \( |8-x| \ge 0 \) для всех \( x \), знак дроби определяется знаком знаменателя \( (9-x)^3 \). Нам нужно, чтобы \( \frac{|8-x|}{(9-x)^3} \ge 0 \). Это означает, что \( (9-x)^3 > 0 \) (так как числитель \( |8-x| \) всегда \(\ge 0\), и если он равен 0, то неравенство выполняется). \( (9-x)^3 > 0 \Rightarrow 9-x > 0 \Rightarrow 9 > x \Rightarrow x < 9 \). Также нужно учесть, что при \( x=8 \), числитель равен 0, и неравенство \( 0 \ge 0 \) выполняется. Точка \( x=8 \) входит в интервал \( x < 9 \). Таким образом, решением является интервал \( (-\infty; 9) \). Ответ: \( (-\infty; 9) \)