Решение контрольной работы по математике 1 курс, вариант 6

Хорошо, давайте решим все задачи по порядку. Итоговая контрольная работа за 1 семестр 2025-2026 учебного года по дисциплине Математика обучающегося 1 курса группы ______ Ф.И.О. ______ Вариант №6
1. Вычислите, используя свойства степени и арифметического корня а) \[ \frac{3^8 \cdot 10^5}{30^5} \] Решение: \[ \frac{3^8 \cdot 10^5}{30^5} = \frac{3^8 \cdot 10^5}{(3 \cdot 10)^5} = \frac{3^8 \cdot 10^5}{3^5 \cdot 10^5} \] Сокращаем \(10^5\): \[ \frac{3^8}{3^5} \] Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 3^{8-5} = 3^3 = 27 \] Ответ: 27
б) \[ \frac{\sqrt[5]{80} \cdot \sqrt[5]{10}}{\sqrt[5]{25}} \] Решение: Используем свойство корня \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) и \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \): \[ \frac{\sqrt[5]{80} \cdot \sqrt[5]{10}}{\sqrt[5]{25}} = \sqrt[5]{\frac{80 \cdot 10}{25}} \] Выполняем умножение и деление под корнем: \[ \sqrt[5]{\frac{800}{25}} = \sqrt[5]{32} \] Находим корень пятой степени из 32: \[ \sqrt[5]{32} = 2 \] Потому что \( 2^5 = 32 \). Ответ: 2
в) \[ \frac{(9\sqrt{3})^2}{27} \] Решение: Используем свойство степени \( (ab)^n = a^n b^n \) и \( (\sqrt{a})^2 = a \): \[ (9\sqrt{3})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243 \] Теперь подставляем это значение в выражение: \[ \frac{243}{27} \] Выполняем деление: \[ \frac{243}{27} = 9 \] Ответ: 9
2. Вычислите значение выражения, используя свойства логарифма а) \[ \left(\frac{1}{8}\right)^{-2-\log_2 2} \] Решение: Сначала упростим показатель степени. \[ -2 - \log_2 2 \] Мы знаем, что \( \log_a a = 1 \), поэтому \( \log_2 2 = 1 \). \[ -2 - 1 = -3 \] Теперь подставим это значение обратно в выражение: \[ \left(\frac{1}{8}\right)^{-3} \] Используем свойство степени \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \): \[ \left(\frac{8}{1}\right)^3 = 8^3 \] Вычисляем \( 8^3 \): \[ 8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512 \] Ответ: 512
б) \[ \frac{\log_5 14^{35}}{5 \log_5 14} \] Решение: Используем свойство логарифма \( \log_a b^c = c \log_a b \): \[ \log_5 14^{35} = 35 \log_5 14 \] Теперь подставим это в выражение: \[ \frac{35 \log_5 14}{5 \log_5 14} \] Сокращаем \( \log_5 14 \): \[ \frac{35}{5} = 7 \] Ответ: 7
в) \[ \log_8 80 - \log_8 1,25 \] Решение: Используем свойство логарифма \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right) \): \[ \log_8 80 - \log_8 1,25 = \log_8 \left(\frac{80}{1,25}\right) \] Выполняем деление: \[ \frac{80}{1,25} = \frac{80}{\frac{5}{4}} = 80 \cdot \frac{4}{5} = \frac{320}{5} = 64 \] Теперь подставляем это значение обратно в логарифм: \[ \log_8 64 \] Мы знаем, что \( 8^2 = 64 \), поэтому: \[ \log_8 64 = 2 \] Ответ: 2
г) \[ \frac{\log_4 0,5}{\log_4 7} + \log_7 98 \] Решение: Сначала упростим первое слагаемое, используя формулу перехода к новому основанию \( \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a \): \[ \frac{\log_4 0,5}{\log_4 7} = \log_7 0,5 \] Теперь выражение выглядит так: \[ \log_7 0,5 + \log_7 98 \] Используем свойство логарифма \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \): \[ \log_7 (0,5 \cdot 98) \] Выполняем умножение: \[ 0,5 \cdot 98 = \frac{1}{2} \cdot 98 = 49 \] Теперь подставляем это значение обратно в логарифм: \[ \log_7 49 \] Мы знаем, что \( 7^2 = 49 \), поэтому: \[ \log_7 49 = 2 \] Ответ: 2
3. Решите простейшие уравнения а) \[ \sqrt{3x} - 10 = -1 \] Решение: Перенесем -10 в правую часть уравнения: \[ \sqrt{3x} = -1 + 10 \] \[ \sqrt{3x} = 9 \] Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (\sqrt{3x})^2 = 9^2 \] \[ 3x = 81 \] Разделим обе части на 3: \[ x = \frac{81}{3} \] \[ x = 27 \] Проверка: \( \sqrt{3 \cdot 27} - 10 = \sqrt{81} - 10 = 9 - 10 = -1 \). Верно. Ответ: 27
б) \[ 7^{3x-7} = 49 \] Решение: Представим 49 как степень числа 7: \[ 49 = 7^2 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 7^{3x-7} = 7^2 \] Так как основания равны, приравниваем показатели степени: \[ 3x - 7 = 2 \] Перенесем -7 в правую часть: \[ 3x = 2 + 7 \] \[ 3x = 9 \] Разделим обе части на 3: \[ x = \frac{9}{3} \] \[ x = 3 \] Проверка: \( 7^{3 \cdot 3 - 7} = 7^{9-7} = 7^2 = 49 \). Верно. Ответ: 3
в) \[ \log_{\frac{1}{9}}(-4x+1) = -2 \] Решение: По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \). В нашем случае \( a = \frac{1}{9} \), \( b = -4x+1 \), \( c = -2 \). \[ \left(\frac{1}{9}\right)^{-2} = -4x+1 \] Вычислим левую часть: \[ \left(\frac{1}{9}\right)^{-2} = 9^2 = 81 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 81 = -4x+1 \] Перенесем 1 в левую часть: \[ 81 - 1 = -4x \] \[ 80 = -4x \] Разделим обе части на -4: \[ x = \frac{80}{-4} \] \[ x = -20 \] Проверка: \( \log_{\frac{1}{9}}(-4 \cdot (-20) + 1) = \log_{\frac{1}{9}}(80+1) = \log_{\frac{1}{9}}(81) \). Так как \( \left(\frac{1}{9}\right)^{-2} = 9^2 = 81 \), то \( \log_{\frac{1}{9}}(81) = -2 \). Верно. Ответ: -20
4. Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, укажите в ответ больший из них. \[ \sqrt{15+2x} = x \] Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{15+2x})^2 = x^2 \] \[ 15+2x = x^2 \] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 - 2x - 15 = 0 \] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Используем теорему Виета: Сумма корней \( x_1 + x_2 = -(-2) = 2 \) Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = -15 \) Подбираем числа: 5 и -3. \( 5 + (-3) = 2 \) \( 5 \cdot (-3) = -15 \) Значит, корни уравнения \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -3 \). Теперь необходимо проверить корни, так как мы возводили в квадрат, и правая часть уравнения \( x \) должна быть неотрицательной (поскольку она равна арифметическому квадратному корню). Проверка для \( x_1 = 5 \): \[ \sqrt{15+2 \cdot 5} = 5 \] \[ \sqrt{15+10} = 5 \] \[ \sqrt{25} = 5 \] \[ 5 = 5 \] Этот корень подходит. Проверка для \( x_2 = -3 \): \[ \sqrt{15+2 \cdot (-3)} = -3 \] \[ \sqrt{15-6} = -3 \] \[ \sqrt{9} = -3 \] \[ 3 = -3 \] Это неверно, поэтому \( x_2 = -3 \) не является решением исходного уравнения. Уравнение имеет один корень \( x=5 \). Если бы было несколько корней, мы бы выбрали больший. В данном случае, это единственный корень. Ответ: 5
5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя за скобки \[ 2^{x+3} - 5 \cdot 2^x = 12 \] Решение: Используем свойство степени \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \): \[ 2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 \] \[ 2^x \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^x = 12 \] Вычислим \( 2^3 \): \[ 2^3 = 8 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 2^x \cdot 8 - 5 \cdot 2^x = 12 \] Вынесем общий множитель \( 2^x \) за скобки: \[ 2^x (8 - 5) = 12 \] \[ 2^x (3) = 12 \] Разделим обе части на 3: \[ 2^x = \frac{12}{3} \] \[ 2^x = 4 \] Представим 4 как степень числа 2: \[ 4 = 2^2 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 2^x = 2^2 \] Так как основания равны, приравниваем показатели степени: \[ x = 2 \] Проверка: \( 2^{2+3} - 5 \cdot 2^2 = 2^5 - 5 \cdot 4 = 32 - 20 = 12 \). Верно. Ответ: 2
6. Решите уравнение методом введения новой переменной \[ \log_2^2 x - 5 \log_2 x + 6 = 0 \] Решение: Введем новую переменную. Пусть \( y = \log_2 x \). Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно \( y \): \[ y^2 - 5y + 6 = 0 \] Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: Сумма корней \( y_1 + y_2 = -(-5) = 5 \) Произведение корней \( y_1 \cdot y_2 = 6 \) Подбираем числа: 2 и 3. \( 2 + 3 = 5 \) \( 2 \cdot 3 = 6 \) Значит, корни уравнения \( y_1 = 2 \) и \( y_2 = 3 \). Теперь вернемся к исходной переменной \( x \), подставив значения \( y \): Случай 1: \( y_1 = 2 \) \[ \log_2 x = 2 \] По определению логарифма: \[ x = 2^2 \] \[ x = 4 \] Случай 2: \( y_2 = 3 \) \[ \log_2 x = 3 \] По определению логарифма: \[ x = 2^3 \] \[ x = 8 \] Проверка: Для \( x=4 \): \( \log_2^2 4 - 5 \log_2 4 + 6 = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \). Верно. Для \( x=8 \): \( \log_2^2 8 - 5 \log_2 8 + 6 = (3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \). Верно. Ответ: 4; 8
7. Найдите длину наклонной AB, проведенной из точки A к плоскости \( \alpha \), если длина проекции наклонной равна 12 см, а длина перпендикуляра 35 см. Решение: Представим ситуацию: Пусть точка A находится вне плоскости \( \alpha \). Из точки A к плоскости \( \alpha \) проведен перпендикуляр AC и наклонная AB. Точка C - основание перпендикуляра на плоскости \( \alpha \). Точка B - основание наклонной на плоскости \( \alpha \). Тогда AC - перпендикуляр, AB - наклонная, CB - проекция наклонной на плоскость. У нас есть прямоугольный треугольник ACB, где угол C прямой (90 градусов). Дано: Длина проекции наклонной (CB) = 12 см. Длина перпендикуляра (AC) = 35 см. Найти: Длину наклонной (AB). Используем теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + CB^2 \) \[ AB^2 = 35^2 + 12^2 \] Вычислим квадраты: \[ 35^2 = 1225 \] \[ 12^2 = 144 \] Теперь сложим их: \[ AB^2 = 1225 + 144 \] \[ AB^2 = 1369 \] Извлечем квадратный корень: \[ AB = \sqrt{1369} \] \[ AB = 37 \] Длина наклонной AB равна 37 см. Ответ: 37 см
8. Решите неравенства а) \[ \log_{\frac{1}{3}}(-2x+7) \ge -2 \] Решение: Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \[ -2x+7 > 0 \] \[ -2x > -7 \] Разделим на -2, при этом знак неравенства меняется на противоположный: \[ x < \frac{-7}{-2} \] \[ x < 3,5 \] Теперь решим само неравенство. Основание логарифма \( \frac{1}{3} \) находится между 0 и 1. Это означает, что при отбрасывании логарифма знак неравенства меняется на противоположный. \[ \log_{\frac{1}{3}}(-2x+7) \ge -2 \] Представим -2 как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \[ -2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = \log_{\frac{1}{3}} 9 \] Теперь неравенство выглядит так: \[ \log_{\frac{1}{3}}(-2x+7) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 \] Так как основание \( \frac{1}{3} < 1 \), то функция логарифма убывающая, и при отбрасывании логарифмов знак неравенства меняется: \[ -2x+7 \le 9 \] \[ -2x \le 9 - 7 \] \[ -2x \le 2 \] Разделим на -2, при этом знак неравенства меняется на противоположный: \[ x \ge \frac{2}{-2} \] \[ x \ge -1 \] Теперь объединим это решение с ОДЗ \( x < 3,5 \): \[ -1 \le x < 3,5 \] Ответ: \( [-1; 3,5) \)
б) \[ 4^{-x+3} > 16^{2x-6} \] Решение: Приведем обе части неравенства к одному основанию. Мы знаем, что \( 16 = 4^2 \). \[ 4^{-x+3} > (4^2)^{2x-6} \] Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ 4^{-x+3} > 4^{2(2x-6)} \] \[ 4^{-x+3} > 4^{4x-12} \] Так как основания равны (4) и больше 1, то при отбрасывании оснований знак неравенства сохраняется: \[ -x+3 > 4x-12 \] Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а константы в другую: \[ 3 + 12 > 4x + x \] \[ 15 > 5x \] Разделим обе части на 5: \[ \frac{15}{5} > x \] \[ 3 > x \] Или, что то же самое: \[ x < 3 \] Ответ: \( (-\infty; 3) \)
9. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x - y = -9 \\ \log_8 2^{-2x+y} = 4 \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения выразим \( x \) через \( y \) (или \( y \) через \( x \)). Пусть \( x = y - 9 \). Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение. Сначала упростим второе уравнение, используя определение логарифма: \[ \log_8 2^{-2x+y} = 4 \] По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \). \[ 8^4 = 2^{-2x+y} \] Представим 8 как степень числа 2: \( 8 = 2^3 \). \[ (2^3)^4 = 2^{-2x+y} \] \[ 2^{12} = 2^{-2x+y} \] Так как основания равны, приравниваем показатели степени: \[ 12 = -2x+y \] Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} x - y = -9 \\ -2x + y = 12 \end{cases} \] Мы уже выразили \( x = y - 9 \) из первого уравнения. Подставим это во второе уравнение: \[ -2(y-9) + y = 12 \] Раскроем скобки: \[ -2y + 18 + y = 12 \] Приведем подобные члены: \[ -y + 18 = 12 \] Перенесем 18 в правую часть: \[ -y = 12 - 18 \] \[ -y = -6 \] Умножим обе части на -1: \[ y = 6 \] Теперь найдем \( x \), используя \( x = y - 9 \): \[ x = 6 - 9 \] \[ x = -3 \] Проверка: Подставим \( x=-3 \) и \( y=6 \) в первое уравнение: \[ -3 - 6 = -9 \] \[ -9 = -9 \] Верно. Подставим \( x=-3 \) и \( y=6 \) во второе уравнение: \[ \log_8 2^{-2(-3)+6} = \log_8 2^{6+6} = \log_8 2^{12} \] Мы знаем, что \( 8 = 2^3 \), поэтому \( \log_8 2^{12} = \log_{2^3} 2^{12} \). Используем свойство логарифма \( \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b \): \[ \frac{12}{3} \log_2 2 = 4 \cdot 1 = 4 \] Верно. Ответ: \( (-3; 6) \)
Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!