Решение контрольной работы по математике 1 курс, вариант 5

Хорошо, давайте решим все задания по порядку. Итоговая контрольная работа за 1 семестр 2025-2026 учебного года по дисциплине Математика обучающегося 1 курса группы Ф.И.О. Вариант №5

1. Вычислите, используя свойства степени и арифметического корня

а) \(9^{10} \cdot 9^8\) Решение: Используем свойство степени \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). \(9^{10} \cdot 9^8 = 9^{10+8} = 9^{18}\) Ответ: \(9^{18}\) б) \(\frac{\sqrt[4]{128} \cdot \sqrt[4]{28}}{\sqrt[4]{14}}\) Решение: Используем свойства корней \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\) и \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\). \(\frac{\sqrt[4]{128} \cdot \sqrt[4]{28}}{\sqrt[4]{14}} = \sqrt[4]{\frac{128 \cdot 28}{14}}\) Сократим 28 и 14: \(28/14 = 2\). \(\sqrt[4]{\frac{128 \cdot 28}{14}} = \sqrt[4]{128 \cdot 2} = \sqrt[4]{256}\) Так как \(4^4 = 256\), то \(\sqrt[4]{256} = 4\). Ответ: \(4\) в) \(\frac{(7\sqrt{3})^2}{21}\) Решение: Используем свойство \((ab)^n = a^n b^n\). \((7\sqrt{3})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147\) Теперь подставим это значение в выражение: \(\frac{147}{21}\) Разделим 147 на 21: \(147 \div 21 = 7\). Ответ: \(7\)

2. Вычислите значение выражения, используя свойства логарифма

а) \(5^{4+\log_5 3}\) Решение: Используем свойство степени \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) и основное логарифмическое тождество \(a^{\log_a b} = b\). \(5^{4+\log_5 3} = 5^4 \cdot 5^{\log_5 3}\) \(5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\) \(5^{\log_5 3} = 3\) Тогда: \(625 \cdot 3 = 1875\) Ответ: \(1875\) б) \(\log_6 0,8 + \log_6 45 - 2\log_6 3\) Решение: Используем свойства логарифмов: \(\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\), \(\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})\) и \(n \log_a x = \log_a x^n\). Сначала преобразуем \(2\log_6 3\): \(2\log_6 3 = \log_6 3^2 = \log_6 9\) Теперь подставим это в исходное выражение: \(\log_6 0,8 + \log_6 45 - \log_6 9\) Объединим первые два слагаемых: \(\log_6 (0,8 \cdot 45) - \log_6 9\) \(0,8 \cdot 45 = \frac{8}{10} \cdot 45 = \frac{4}{5} \cdot 45 = 4 \cdot 9 = 36\) Теперь выражение выглядит так: \(\log_6 36 - \log_6 9\) Объединим оставшиеся слагаемые: \(\log_6 \left(\frac{36}{9}\right) = \log_6 4\) Ответ: \(\log_6 4\) г) \(\log_5 60 - \frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5}\) Решение: Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: \(\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b\). \(\frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5} = \log_5 12\) Теперь подставим это в исходное выражение: \(\log_5 60 - \log_5 12\) Используем свойство логарифмов \(\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})\). \(\log_5 \left(\frac{60}{12}\right) = \log_5 5\) Так как \(\log_a a = 1\), то \(\log_5 5 = 1\). Ответ: \(1\)

3. Решите простейшие уравнения

а) \(\sqrt{2x-3} = -3\) Решение: Квадратный корень из числа по определению является неотрицательным числом. То есть \(\sqrt{A} \ge 0\). В данном уравнении \(\sqrt{2x-3}\) равно \(-3\), что является отрицательным числом. Следовательно, это уравнение не имеет решений. Ответ: Нет решений. б) \(16^{3x+13} = \frac{1}{16}\) Решение: Представим правую часть уравнения как степень с основанием 16: \(\frac{1}{16} = 16^{-1}\) Теперь уравнение выглядит так: \(16^{3x+13} = 16^{-1}\) Если основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \(3x+13 = -1\) Вычтем 13 из обеих частей уравнения: \(3x = -1 - 13\) \(3x = -14\) Разделим обе части на 3: \(x = -\frac{14}{3}\) Ответ: \(x = -\frac{14}{3}\) в) \(\log_1 (5x-6) = -2\) \(3\) Решение: Уравнение записано как \(\log_{\frac{1}{3}} (5x-6) = -2\). По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). В нашем случае \(a = \frac{1}{3}\), \(b = 5x-6\), \(c = -2\). Значит: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 5x-6\) Вычислим \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\): \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9\) Теперь уравнение выглядит так: \(9 = 5x-6\) Прибавим 6 к обеим частям уравнения: \(9+6 = 5x\) \(15 = 5x\) Разделим обе части на 5: \(x = \frac{15}{5}\) \(x = 3\) Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: \(5x-6 > 0\). При \(x=3\): \(5(3)-6 = 15-6 = 9\). \(9 > 0\), значит, решение подходит. Ответ: \(x = 3\)

4. Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, укажите в ответ меньший из них

\(\sqrt{-14-9x} = -x\) Решение: Для решения этого уравнения возведем обе части в квадрат. Перед этим необходимо учесть ОДЗ и условие, что правая часть должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню. Условия: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(-14-9x \ge 0\) 2. Правая часть должна быть неотрицательной: \(-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0\) Возводим обе части в квадрат: \((\sqrt{-14-9x})^2 = (-x)^2\) \(-14-9x = x^2\) Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 + 9x + 14 = 0\) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Здесь \(a=1\), \(b=9\), \(c=14\). \(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\) Корни уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) \(x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) Теперь проверим эти корни на соответствие условиям: Условие 1: \(-14-9x \ge 0\) Условие 2: \(x \le 0\) Для \(x_1 = -2\): Условие 1: \(-14 - 9(-2) = -14 + 18 = 4\). \(4 \ge 0\). Условие выполняется. Условие 2: \(-2 \le 0\). Условие выполняется. Значит, \(x_1 = -2\) является корнем. Для \(x_2 = -7\): Условие 1: \(-14 - 9(-7) = -14 + 63 = 49\). \(49 \ge 0\). Условие выполняется. Условие 2: \(-7 \le 0\). Условие выполняется. Значит, \(x_2 = -7\) является корнем. Уравнение имеет два корня: \(-2\) и \(-7\). В ответ нужно указать меньший из них. Меньший корень - это \(-7\). Ответ: \(-7\)

5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя за скобки

\(6^{x+1} - 2 \cdot 6^x = 144\) Решение: Используем свойство степени \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\). \(6^{x+1} = 6^x \cdot 6^1 = 6 \cdot 6^x\) Подставим это в уравнение: \(6 \cdot 6^x - 2 \cdot 6^x = 144\) Вынесем общий множитель \(6^x\) за скобки: \(6^x (6 - 2) = 144\) \(6^x \cdot 4 = 144\) Разделим обе части на 4: \(6^x = \frac{144}{4}\) \(6^x = 36\) Представим 36 как степень с основанием 6: \(36 = 6^2\) Тогда: \(6^x = 6^2\) Следовательно, \(x = 2\). Ответ: \(x = 2\)

6. Решите уравнение методом введения новой переменной

\(\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 = 0\) Решение: Введем новую переменную. Пусть \(y = \log_2 x\). Тогда уравнение примет вид: \(y^2 - 4y + 3 = 0\) Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: сумма корней \(y_1 + y_2 = 4\), произведение корней \(y_1 \cdot y_2 = 3\). Очевидно, что корни \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 3\). Теперь вернемся к исходной переменной \(x\). Случай 1: \(y = 1\) \(\log_2 x = 1\) По определению логарифма: \(x = 2^1\) \(x = 2\) Случай 2: \(y = 3\) \(\log_2 x = 3\) По определению логарифма: \(x = 2^3\) \(x = 8\) Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: \(x > 0\). Оба найденных корня \(x=2\) и \(x=8\) удовлетворяют условию \(x > 0\). Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 8\)

7. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости \(\alpha\), если длина наклонной равна 30 см, а длина проекции наклонной 18 см.

Решение: Представим ситуацию: Пусть точка А находится вне плоскости \(\alpha\). Из точки А проведен перпендикуляр к плоскости \(\alpha\). Обозначим его основание как точку H. Длина этого перпендикуляра - это искомая величина. Из точки А проведена наклонная к плоскости \(\alpha\). Обозначим ее основание как точку B. Длина наклонной AB = 30 см. Проекция наклонной на плоскость \(\alpha\) - это отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной. То есть, это отрезок HB. Длина проекции HB = 18 см. Отрезки AH (перпендикуляр), HB (проекция) и AB (наклонная) образуют прямоугольный треугольник AHB, где угол AHB прямой (90 градусов). Мы можем использовать теорему Пифагора: \(AH^2 + HB^2 = AB^2\). Пусть длина перпендикуляра AH = h. Тогда: \(h^2 + 18^2 = 30^2\) \(h^2 + 324 = 900\) Вычтем 324 из обеих частей: \(h^2 = 900 - 324\) \(h^2 = 576\) Извлечем квадратный корень: \(h = \sqrt{576}\) \(h = 24\) Длина перпендикуляра равна 24 см. Ответ: 24 см

8. Решите неравенство

а) \(5^{4x+9} \ge \frac{1}{125}\) Решение: Представим правую часть неравенства как степень с основанием 5: \(\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}\) Теперь неравенство выглядит так: \(5^{4x+9} \ge 5^{-3}\) Так как основание степени \(5 > 1\), то при сравнении показателей знак неравенства сохраняется: \(4x+9 \ge -3\) Вычтем 9 из обеих частей: \(4x \ge -3 - 9\) \(4x \ge -12\) Разделим обе части на 4: \(x \ge \frac{-12}{4}\) \(x \ge -3\) Ответ: \(x \ge -3\) или в интервальной записи \([-3; +\infty)\) б) \(\log_{\frac{1}{3}} (4x-8) > \log_{\frac{1}{3}} (x+1)\) Решение: Для логарифмических неравенств необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и основание логарифма. ОДЗ: 1. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: \(4x-8 > 0\) \(4x > 8\) \(x > 2\) 2. Аргумент второго логарифма должен быть положительным: \(x+1 > 0\) \(x > -1\) Объединяя эти условия, получаем \(x > 2\). Теперь решим само неравенство. Основание логарифма \(\frac{1}{3}\) находится в интервале \(0 < \frac{1}{3} < 1\). Если основание логарифма меньше 1, то при отбрасывании логарифмов знак неравенства меняется на противоположный: \(4x-8 < x+1\) Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а константы в другую: \(4x - x < 1 + 8\) \(3x < 9\) Разделим обе части на 3: \(x < 3\) Теперь объединим решение неравенства с ОДЗ: \(x > 2\) и \(x < 3\) Таким образом, решение неравенства: \(2 < x < 3\). Ответ: \(2 < x < 3\) или в интервальной записи \((2; 3)\)

9. Решите систему уравнений

\[ \begin{cases} x+y = 4 \\ \log_{81} 3^{2x-y} = 2 \end{cases} \] Решение: Начнем со второго уравнения системы. \(\log_{81} 3^{2x-y} = 2\) По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). В нашем случае \(a = 81\), \(b = 3^{2x-y}\), \(c = 2\). Значит: \(81^2 = 3^{2x-y}\) Представим 81 как степень тройки: \(81 = 3^4\). Тогда: \((3^4)^2 = 3^{2x-y}\) Используем свойство \((a^m)^n = a^{mn}\): \(3^{4 \cdot 2} = 3^{2x-y}\) \(3^8 = 3^{2x-y}\) Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: \(8 = 2x-y\) Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} x+y = 4 \\ 2x-y = 8 \end{cases} \] Решим эту систему методом сложения. Сложим первое уравнение со вторым: \((x+y) + (2x-y) = 4 + 8\) \(x+y+2x-y = 12\) \(3x = 12\) Разделим на 3: \(x = \frac{12}{3}\) \(x = 4\) Теперь подставим значение \(x=4\) в первое уравнение \(x+y=4\): \(4+y = 4\) \(y = 4-4\) \(y = 0\) Проверим решение, подставив \(x=4\) и \(y=0\) во второе уравнение: \(\log_{81} 3^{2(4)-0} = \log_{81} 3^8\) Мы знаем, что \(81 = 3^4\). \(\log_{3^4} 3^8\) Используем свойство \(\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b\): \(\frac{8}{4} \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2\) Что соответствует правой части второго уравнения. Решение верное. Ответ: \(x=4\), \(y=0\)

Таблица оценки

Процент выполнения | Баллы | Оценка --------------------|-------|--------- менее 50% | 0-10 | неудовлетворительно от 51% до 65% | 11-14 | удовлетворительно от 66% до 85% | 15-18 | хорошо от 86% до 100% | 19-22 | отлично Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!