Решение уравнения (1/3)^(x^2-3x) = 9

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Решим уравнение: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 3x} = 9 \] Шаг 1: Приведем правую часть уравнения к основанию, равному основанию левой части. Мы знаем, что \(9 = 3^2\). Также мы можем записать \(3\) как \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\). Тогда \(9 = 3^2 = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\). Итак, наше уравнение примет вид: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 3x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \] Шаг 2: Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели степеней. \[ x^2 - 3x = -2 \] Шаг 3: Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение. \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Используем теорему Виета: Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -(-3) = 3\) Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = 2\) Подбираем числа, которые в сумме дают 3, а в произведении 2. Это числа 1 и 2. Проверим: \(1 + 2 = 3\) \(1 \cdot 2 = 2\) Значит, корни уравнения: \(x_1 = 1\) \(x_2 = 2\) Если использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем уравнении \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\). \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \] \[ D = 9 - 8 \] \[ D = 1 \] Теперь найдем корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Ответ: Корни уравнения: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\).