1. Если точки \(M, N, K\) лежат на одной прямой, то:
Если точки лежат на одной прямой, это означает, что векторы, образованные этими точками, коллинеарны. Коллинеарные векторы могут быть направлены как в одну сторону (соноправлены), так и в противоположные стороны (противоположно направлены). Главное условие коллинеарности – один вектор можно выразить через другой, умноженный на некоторое число \(k\).
а) \(\vec{MN} \uparrow\uparrow \vec{NK}\) – это означает, что векторы сонаправлены. Это возможно, но не всегда.
б) \(\vec{MN} \uparrow\downarrow \vec{NK}\) – это означает, что векторы противоположно направлены. Это тоже возможно, но не всегда.
в) \(\vec{MN} = k \cdot \vec{NK}\) – это общее условие коллинеарности векторов. Если точки \(M, N, K\) лежат на одной прямой, то векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{NK}\) коллинеарны, а значит, один из них можно выразить через другой, умноженный на некоторое число \(k\). Это условие включает в себя как сонаправленные, так и противоположно направленные векторы.
Ответ: в) \(\vec{MN} = k \cdot \vec{NK}\)
2. Если \(\vec{b}\{-2; 7\}\), то:
Вектор, заданный координатами \(\{x; y\}\), можно представить в виде \(\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j}\), где \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) – это единичные векторы по осям \(Ox\) и \(Oy\) соответственно.
Для вектора \(\vec{b}\{-2; 7\}\) это означает, что его координата по оси \(Ox\) равна -2, а по оси \(Oy\) равна 7.
Следовательно, \(\vec{b} = -2\vec{i} + 7\vec{j}\).
а) \(\vec{b} = 7\vec{i} - 2\vec{j}\) – неверно.
б) \(\vec{b} = 7\vec{j} - 2\vec{i}\) – это то же самое, что \(\vec{b} = -2\vec{i} + 7\vec{j}\). Это верно.
в) \(\vec{b} = -2\vec{i} - 7\vec{j}\) – неверно.
Ответ: б) \(\vec{b} = 7\vec{j} - 2\vec{i}\)
3. Если \(M(-3; 4)\), \(N(-1; -5)\), то:
Чтобы найти координаты вектора \(\vec{MN}\), нужно из координат конечной точки \(N\) вычесть соответствующие координаты начальной точки \(M\).
Пусть \(M(x_M; y_M)\) и \(N(x_N; y_N)\).
Тогда \(\vec{MN} = \{x_N - x_M; y_N - y_M\}\).
Дано: \(M(-3; 4)\), \(N(-1; -5)\).
Координата по \(x\): \(-1 - (-3) = -1 + 3 = 2\).
Координата по \(y\): \(-5 - 4 = -9\).
Таким образом, \(\vec{MN} = \{2; -9\}\).
а) \(\vec{MN}\{-4; -1\}\) – неверно.
б) \(\vec{MN}\{-2; 9\}\) – неверно.
в) \(\vec{MN}\{2; -9\}\) – верно.
Ответ: в) \(\vec{MN}\{2; -9\}\)
4. Если \(\vec{a}\{4; -2\}\), \(\vec{b}\{6; -3\}\), \(\vec{p} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}\), то:
Для нахождения координат вектора \(\vec{p}\) нужно выполнить операции умножения векторов на скаляр и сложения векторов.
Умножение вектора на скаляр: если \(\vec{v}\{x; y\}\) и \(k\) – скаляр, то \(k\vec{v} = \{kx; ky\}\).
Сложение векторов: если \(\vec{v_1}\{x_1; y_1\}\) и \(\vec{v_2}\{x_2; y_2\}\), то \(\vec{v_1} + \vec{v_2} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}\).
Сначала найдем \(\frac{1}{2}\vec{a}\) и \(\frac{1}{3}\vec{b}\):
\(\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\{4; -2\} = \{\frac{1}{2} \cdot 4; \frac{1}{2} \cdot (-2)\} = \{2; -1\}\).
\(\frac{1}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\{6; -3\} = \{\frac{1}{3} \cdot 6; \frac{1}{3} \cdot (-3)\} = \{2; -1\}\).
Теперь найдем \(\vec{p} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}\):
\(\vec{p} = -\{2; -1\} - \{2; -1\} = \{-2; 1\} + \{-2; 1\} = \{-2 + (-2); 1 + 1\} = \{-4; 2\}\).
а) \(\vec{p}\{-4; 2\}\) – верно.
б) \(\vec{p}\{4; -2\}\) – неверно.
в) \(\vec{p}\{4; 2\}\) – неверно.
Ответ: а) \(\vec{p}\{-4; 2\}\)
5. Если \(\vec{a}\{3; -4\}\), \(\vec{b}\{-0,75; 1\}\), \(\vec{c}\{-6; -8\}\), то коллинеарны векторы:
Два вектора \(\vec{v_1}\{x_1; y_1\}\) и \(\vec{v_2}\{x_2; y_2\}\) коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть существует такое число \(k\), что \(x_2 = kx_1\) и \(y_2 = ky_1\). Это эквивалентно условию \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\) (если координаты не равны нулю).
Проверим пары векторов:
а) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\(\vec{a}\{3; -4\}\), \(\vec{b}\{-0,75; 1\}\).
Проверим отношение координат: \(\frac{3}{-0,75} = -4\). \(\frac{-4}{1} = -4\).
Так как \(\frac{3}{-0,75} = \frac{-4}{1} = -4\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны (\(\vec{a} = -4\vec{b}\)).
б) \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\):
\(\vec{a}\{3; -4\}\), \(\vec{c}\{-6; -8\}\).
Проверим отношение координат: \(\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}\). \(\frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}\).
Так как \(\frac{3}{-6} \neq \frac{-4}{-8}\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) не коллинеарны.
в) \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
\(\vec{b}\{-0,75; 1\}\), \(\vec{c}\{-6; -8\}\).
Проверим отношение координат: \(\frac{-0,75}{-6} = \frac{-3/4}{-6} = \frac{-3}{4 \cdot (-6)} = \frac{-3}{-24} = \frac{1}{8}\). \(\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}\).
Так как \(\frac{-0,75}{-6} \neq \frac{1}{-8}\), то векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) не коллинеарны.
Ответ: а) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
6. Если \(O\) – точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\), \(A(3; -7)\), \(C(-5; -1)\), то:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка \(O\) является серединой диагонали \(AC\).
Координаты середины отрезка с концами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) находятся по формулам:
\(x_O = \frac{x_1 + x_2}{2}\)
\(y_O = \frac{y_1 + y_2}{2}\)
Дано: \(A(3; -7)\), \(C(-5; -1)\).
\(x_O = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
\(y_O = \frac{-7 + (-1)}{2} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).
Таким образом, \(O(-1; -4)\).
а) \(O(4; -3)\) – неверно.
б) \(O(-1; -4)\) – верно.
в) \(O(-4; 3)\) – неверно.
Ответ: б) \(O(-1; -4)\)
7. Если \(\vec{b} = 6\vec{i} - 8\vec{j}\), то:
Модуль (длина) вектора \(\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j}\) вычисляется по формуле: \(|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Для вектора \(\vec{b} = 6\vec{i} - 8\vec{j}\) имеем \(x = 6\) и \(y = -8\).
\(|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}\).
\(|\vec{b}| = 10\).
а) \(|\vec{b}| = 2\) – неверно.
б) \(|\vec{b}| = \sqrt{28}\) – неверно.
в) \(|\vec{b}| = 10\) – верно.
Ответ: в) \(|\vec{b}| = 10\)
8. В треугольнике \(MNK\) \(M(-2; 4)\), \(N(4; 6)\), \(K(6; -2)\). Если \(MA\) – медиана, то:
Медиана \(MA\) соединяет вершину \(M\) с серединой противоположной стороны \(NK\). Сначала найдем координаты точки \(A\), которая является серединой отрезка \(NK\).
Координаты середины отрезка с концами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) находятся по формулам:
\(x_A = \frac{x_N + x_K}{2}\)
\(y_A = \frac{y_N + y_K}{2}\)
Дано: \(N(4; 6)\), \(K(6; -2)\).
\(x_A = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\).
\(y_A = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Таким образом, \(A(5; 2)\).
Теперь найдем длину медианы \(MA\). Длина отрезка между точками \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) вычисляется по формуле: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Дано: \(M(-2; 4)\), \(A(5; 2)\).
\(MA = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (2 - 4)^2}\).
\(MA = \sqrt{(5 + 2)^2 + (-2)^2}\).
\(MA = \sqrt{7^2 + (-2)^2}\).
\(MA = \sqrt{49 + 4}\).
\(MA = \sqrt{53}\).
а) \(MA = \sqrt{85}\) – неверно.
б) \(MA = \sqrt{53}\) – верно.
в) \(MA = \sqrt{45}\) – неверно.
Ответ: б) \(MA = \sqrt{53}\)
9. Если точки \(A(-3; -3)\) и \(B(5; 1)\) – концы диаметра окружности, то уравнение данной окружности имеет вид:
Уравнение окружности имеет вид \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\), где \((x_0; y_0)\) – координаты центра окружности, а \(R\) – ее радиус.
Центр окружности \(O(x_0; y_0)\) является серединой диаметра \(AB\).
\(x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\).
\(y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
Таким образом, центр окружности \(O(1; -1)\).
Радиус \(R\) равен половине длины диаметра \(AB\). Сначала найдем длину диаметра \(AB\).
\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
\(AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (1 - (-3))^2}\).
\(AB = \sqrt{(5 + 3)^2 + (1 + 3)^2}\).
\(AB = \sqrt{8^2 + 4^2}\).
\(AB = \sqrt{64 + 16}\).
\(AB = \sqrt{80}\).
Радиус \(R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{80}}{2}\).
Тогда \(R^2 = \left(\frac{\sqrt{80}}{2}\right)^2 = \frac{80}{4} = 20\).
Подставляем координаты центра и \(R^2\) в уравнение окружности:
\((x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 20\).
\((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 20\).
а) \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 20\) – верно.
б) \((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 12\) – неверно.
в) \((x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 74\) – неверно.
Ответ: а) \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 20\)
10. Уравнение прямой, проходящей через точки \(C(-4; -4)\) и \(D(6; 1)\), имеет вид:
Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\), можно найти по формуле:
\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\).
Дано: \(C(-4; -4)\) и \(D(6; 1)\).
Подставляем координаты:
\(\frac{x - (-4)}{6 - (-4)} = \frac{y - (-4)}{1 - (-4)}\).
\(\frac{x + 4}{6 + 4} = \frac{y + 4}{1 + 4}\).
\(\frac{x + 4}{10} = \frac{y + 4}{5}\).
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (10), чтобы избавиться от дробей:
\(10 \cdot \frac{x + 4}{10} = 10 \cdot \frac{y + 4}{5}\).
\(x + 4 = 2(y + 4)\).
\(x + 4 = 2y + 8\).
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой \(Ax + By + C = 0\):
\(x - 2y + 4 - 8 = 0\).
\(x - 2y - 4 = 0\).
Теперь сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:
а) \(x - 2y - 0 = 0\) (вероятно, опечатка, должно быть \(x - 2y - 4 = 0\)) – если это \(x - 2y = 0\), то неверно.
б) \(x + 2y + 2 = 0\) – неверно.
в) \(2x - y + 2 = 0\) – неверно.
Похоже, в варианте а) есть опечатка, и вместо \(x - 2y - 0 = 0\) должно быть \(x - 2y - 4 = 0\). Если это так, то вариант а) является правильным. Если же там действительно \(x - 2y = 0\), то ни один из вариантов не подходит. Предположим, что это опечатка и правильный ответ \(x - 2y - 4 = 0\).
Давайте перепроверим, возможно, я ошибся в расчетах или в интерпретации вариантов.
Уравнение прямой: \(x - 2y - 4 = 0\).
Проверим точки:
Для \(C(-4; -4)\): \(-4 - 2(-4) - 4 = -4 + 8 - 4 = 0\). Точка \(C\) лежит на прямой.
Для \(D(6; 1)\): \(6 - 2(1) - 4 = 6 - 2 - 4 = 0\). Точка \(D\) лежит на прямой.
Таким образом, уравнение \(x - 2y - 4 = 0\) является верным.
Если вариант а) действительно \(x - 2y - 0 = 0\), то он не подходит. Однако, часто в таких задачах подразумевается, что \(C\) может быть равно 0, но здесь \(C = -4\).
Давайте внимательно посмотрим на вариант а) еще раз. Возможно, там \(x - 2y - 4 = 0\), но цифра 4 плохо видна или слилась с нулем.
Если же мы должны выбрать из предложенных, и вариант а) точно \(x - 2y - 0 = 0\), то ни один из вариантов не подходит. Но это маловероятно для тестового задания.
Предположим, что в варианте а) опечатка и он должен быть \(x - 2y - 4 = 0\).
Ответ: а) \(x - 2y - 4 = 0\) (с учетом возможной опечатки в задании)