Хорошо, давайте продолжим решать задания.
Итоговая контрольная работа
за 1 семестр 2025-2026 учебного года
по дисциплине Математика
обучающегося 1 курса группы
Ф.И.О.
Вариант №5
1. Вычислите, используя свойства степени и арифметического корня
2. Вычислите значение выражения, используя свойства логарифма
а) \(5^{4+\log_5 3}\)
Решение:
Используем свойство степени \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) и основное логарифмическое тождество \(a^{\log_a b} = b\).
\(5^{4+\log_5 3} = 5^4 \cdot 5^{\log_5 3}\)
\(5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\)
\(5^{\log_5 3} = 3\)
Тогда: \(625 \cdot 3 = 1875\)
Ответ: \(1875\)
б) \(\log_6 0,8 + \log_6 45 - 2\log_6 3\)
Решение:
Используем свойства логарифмов: \(\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\), \(\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})\) и \(n \log_a x = \log_a x^n\).
Сначала преобразуем \(2\log_6 3\):
\(2\log_6 3 = \log_6 3^2 = \log_6 9\)
Теперь подставим это в исходное выражение:
\(\log_6 0,8 + \log_6 45 - \log_6 9\)
Объединим первые два слагаемых:
\(\log_6 (0,8 \cdot 45) - \log_6 9\)
\(0,8 \cdot 45 = \frac{8}{10} \cdot 45 = \frac{4}{5} \cdot 45 = 4 \cdot 9 = 36\)
Теперь выражение выглядит так:
\(\log_6 36 - \log_6 9\)
Объединим оставшиеся слагаемые:
\(\log_6 \left(\frac{36}{9}\right) = \log_6 4\)
Ответ: \(\log_6 4\)
в) \(\frac{\log_3 8^{26}}{2\log_3 8}\)
Решение:
Используем свойство логарифма \(\log_a b^k = k \log_a b\).
\(\log_3 8^{26} = 26 \log_3 8\)
Теперь подставим это в выражение:
\(\frac{26 \log_3 8}{2 \log_3 8}\)
Сократим \(\log_3 8\):
\(\frac{26}{2} = 13\)
Ответ: \(13\)
г) \(\log_5 60 - \frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5}\)
Решение:
Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: \(\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b\).
\(\frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5} = \log_5 12\)
Теперь подставим это в исходное выражение:
\(\log_5 60 - \log_5 12\)
Используем свойство логарифмов \(\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})\).
\(\log_5 \left(\frac{60}{12}\right) = \log_5 5\)
Так как \(\log_a a = 1\), то \(\log_5 5 = 1\).
Ответ: \(1\)
3. Решите простейшие уравнения
а) \(\sqrt{2x-3} = -3\)
Решение:
Квадратный корень из числа по определению является неотрицательным числом. То есть \(\sqrt{A} \ge 0\).
В данном уравнении \(\sqrt{2x-3}\) равно \(-3\), что является отрицательным числом.
Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
б) \(16^{3x+13} = \frac{1}{16}\)
Решение:
Представим правую часть уравнения как степень с основанием 16:
\(\frac{1}{16} = 16^{-1}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(16^{3x+13} = 16^{-1}\)
Если основания степеней равны, то и показатели должны быть равны:
\(3x+13 = -1\)
Вычтем 13 из обеих частей уравнения:
\(3x = -1 - 13\)
\(3x = -14\)
Разделим обе части на 3:
\(x = -\frac{14}{3}\)
Ответ: \(x = -\frac{14}{3}\)
в) \(\log_{\frac{1}{3}} (5x-6) = -2\)
Решение:
По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\).
В нашем случае \(a = \frac{1}{3}\), \(b = 5x-6\), \(c = -2\).
Значит:
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 5x-6\)
Вычислим \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\):
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(9 = 5x-6\)
Прибавим 6 к обеим частям уравнения:
\(9+6 = 5x\)
\(15 = 5x\)
Разделим обе части на 5:
\(x = \frac{15}{5}\)
\(x = 3\)
Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: \(5x-6 > 0\).
При \(x=3\): \(5(3)-6 = 15-6 = 9\). \(9 > 0\), значит, решение подходит.
Ответ: \(x = 3\)
4. Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, укажите в ответ меньший из них
\(\sqrt{-14-9x} = -x\)
Решение:
Для решения этого уравнения возведем обе части в квадрат.
Перед этим необходимо учесть ОДЗ и условие, что правая часть должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню.
Условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(-14-9x \ge 0\)
2. Правая часть должна быть неотрицательной: \(-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0\)
Возводим обе части в квадрат:
\((\sqrt{-14-9x})^2 = (-x)^2\)
\(-14-9x = x^2\)
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(x^2 + 9x + 14 = 0\)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).
Здесь \(a=1\), \(b=9\), \(c=14\).
\(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\)
Корни уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
\(x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)
Теперь проверим эти корни на соответствие условиям:
Условие 1: \(-14-9x \ge 0\)
Условие 2: \(x \le 0\)
Для \(x_1 = -2\):
Условие 1: \(-14 - 9(-2) = -14 + 18 = 4\). \(4 \ge 0\). Условие выполняется.
Условие 2: \(-2 \le 0\). Условие выполняется.
Значит, \(x_1 = -2\) является корнем.
Для \(x_2 = -7\):
Условие 1: \(-14 - 9(-7) = -14 + 63 = 49\). \(49 \ge 0\). Условие выполняется.
Условие 2: \(-7 \le 0\). Условие выполняется.
Значит, \(x_2 = -7\) является корнем.
Уравнение имеет два корня: \(-2\) и \(-7\).
В ответ нужно указать меньший из них. Меньший корень - это \(-7\).
Ответ: \(-7\)
5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя за скобки
\(6^{x+1} - 2 \cdot 6^x = 144\)
Решение:
Используем свойство степени \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\).
\(6^{x+1} = 6^x \cdot 6^1 = 6 \cdot 6^x\)
Подставим это в уравнение:
\(6 \cdot 6^x - 2 \cdot 6^x = 144\)
Вынесем общий множитель \(6^x\) за скобки:
\(6^x (6 - 2) = 144\)
\(6^x \cdot 4 = 144\)
Разделим обе части на 4:
\(6^x = \frac{144}{4}\)
\(6^x = 36\)
Представим 36 как степень с основанием 6:
\(36 = 6^2\)
Тогда:
\(6^x = 6^2\)
Следовательно, \(x = 2\).
Ответ: \(x = 2\)
6. Решите уравнение методом введения новой переменной
\(\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 = 0\)
Решение:
Введем новую переменную. Пусть \(y = \log_2 x\).
Тогда уравнение примет вид:
\(y^2 - 4y + 3 = 0\)
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
По теореме Виета: сумма корней \(y_1 + y_2 = 4\), произведение корней \(y_1 \cdot y_2 = 3\).
Очевидно, что корни \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 3\).
Теперь вернемся к исходной переменной \(x\).
Случай 1: \(y = 1\)
\(\log_2 x = 1\)
По определению логарифма: \(x = 2^1\)
\(x = 2\)
Случай 2: \(y = 3\)
\(\log_2 x = 3\)
По определению логарифма: \(x = 2^3\)
\(x = 8\)
Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: \(x > 0\).
Оба найденных корня \(x=2\) и \(x=8\) удовлетворяют условию \(x > 0\).
Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 8\)
7. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости \(\alpha\), если длина наклонной равна 30 см, а длина проекции наклонной 18 см.
Решение:
Представим ситуацию:
Пусть точка А находится вне плоскости \(\alpha\).
Из точки А проведен перпендикуляр к плоскости \(\alpha\). Обозначим его основание как точку H. Длина этого перпендикуляра - это искомая величина.
Из точки А проведена наклонная к плоскости \(\alpha\). Обозначим ее основание как точку B. Длина наклонной AB = 30 см.
Проекция наклонной на плоскость \(\alpha\) - это отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной. То есть, это отрезок HB. Длина проекции HB = 18 см.
Отрезки AH (перпендикуляр), HB (проекция) и AB (наклонная) образуют прямоугольный треугольник AHB, где угол AHB прямой (90 градусов).
Мы можем использовать теорему Пифагора: \(AH^2 + HB^2 = AB^2\).
Пусть длина перпендикуляра AH = h.
Тогда:
\(h^2 + 18^2 = 30^2\)
\(h^2 + 324 = 900\)
Вычтем 324 из обеих частей:
\(h^2 = 900 - 324\)
\(h^2 = 576\)
Извлечем квадратный корень:
\(h = \sqrt{576}\)
\(h = 24\)
Длина перпендикуляра равна 24 см.
Ответ: 24 см
8. Решите неравенство
а) \(5^{4x+9} \ge \frac{1}{125}\)
Решение:
Представим правую часть неравенства как степень с основанием 5:
\(\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}\)
Теперь неравенство выглядит так:
\(5^{4x+9} \ge 5^{-3}\)
Так как основание степени \(5 > 1\), то при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:
\(4x+9 \ge -3\)
Вычтем 9 из обеих частей:
\(4x \ge -3 - 9\)
\(4x \ge -12\)
Разделим обе части на 4:
\(x \ge \frac{-12}{4}\)
\(x \ge -3\)
Ответ: \(x \ge -3\) или в интервальной записи \([-3; +\infty)\)
б) \(\log_{\frac{1}{3}} (4x-8) > \log_{\frac{1}{3}} (x+1)\)
Решение:
Для логарифмических неравенств необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и основание логарифма.
ОДЗ:
1. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: \(4x-8 > 0\)
\(4x > 8\)
\(x > 2\)
2. Аргумент второго логарифма должен быть положительным: \(x+1 > 0\)
\(x > -1\)
Объединяя эти условия, получаем \(x > 2\).
Теперь решим само неравенство. Основание логарифма \(\frac{1}{3}\) находится в интервале \(0 < \frac{1}{3} < 1\).
Если основание логарифма меньше 1, то при отбрасывании логарифмов знак неравенства меняется на противоположный:
\(4x-8 < x+1\)
Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а константы в другую:
\(4x - x < 1 + 8\)
\(3x < 9\)
Разделим обе части на 3:
\(x < 3\)
Теперь объединим решение неравенства с ОДЗ:
\(x > 2\) и \(x < 3\)
Таким образом, решение неравенства: \(2 < x < 3\).
Ответ: \(2 < x < 3\) или в интервальной записи \((2; 3)\)
9. Решите систему уравнений
\[
\begin{cases}
x+y = 4 \\
\log_{81} 3^{2x-y} = 2
\end{cases}
\]
Решение:
Начнем со второго уравнения системы.
\(\log_{81} 3^{2x-y} = 2\)
По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\).
В нашем случае \(a = 81\), \(b = 3^{2x-y}\), \(c = 2\).
Значит:
\(81^2 = 3^{2x-y}\)
Представим 81 как степень тройки: \(81 = 3^4\).
Тогда:
\((3^4)^2 = 3^{2x-y}\)
Используем свойство \((a^m)^n = a^{mn}\):
\(3^{4 \cdot 2} = 3^{2x-y}\)
\(3^8 = 3^{2x-y}\)
Так как основания равны, то и показатели должны быть равны:
\(8 = 2x-y\)
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[
\begin{cases}
x+y = 4 \\
2x-y = 8
\end{cases}
\]
Решим эту систему методом сложения. Сложим первое уравнение со вторым:
\((x+y) + (2x-y) = 4 + 8\)
\(x+y+2x-y = 12\)
\(3x = 12\)
Разделим на 3:
\(x = \frac{12}{3}\)
\(x = 4\)
Теперь подставим значение \(x=4\) в первое уравнение \(x+y=4\):
\(4+y = 4\)
\(y = 4-4\)
\(y = 0\)
Проверим решение, подставив \(x=4\) и \(y=0\) во второе уравнение:
\(\log_{81} 3^{2(4)-0} = \log_{81} 3^8\)
Мы знаем, что \(81 = 3^4\).
\(\log_{3^4} 3^8\)
Используем свойство \(\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b\):
\(\frac{8}{4} \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2\)
Что соответствует правой части второго уравнения. Решение верное.
Ответ: \(x=4\), \(y=0\)
Таблица оценки
Процент выполнения | Баллы | Оценка
--------------------|-------|---------
менее 50% | 0-10 | неудовлетворительно
от 51% до 65% | 11-14 | удовлетворительно
от 66% до 85% | 15-18 | хорошо
от 86% до 100% | 19-22 | отлично
Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!
