Решение задач: Законы сохранения в механике

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Тема. Законы сохранения в механике 1. Импульс системы, состоящей из нескольких материальных точек, равен: 1) сумме модулей импульсов всех ее материальных точек; 2) векторной сумме импульсов всех ее материальных точек; 3) импульсы нельзя складывать. Ответ: 2) векторной сумме импульсов всех ее материальных точек. 2. Утверждение о том, что импульсы замкнутой системы тел не изменяются, является: 1) необоснованным; 2) физическим законом; 3) вымыслом; 4) затрудняюсь что-либо сказать по этому поводу. Ответ: 2) физическим законом. 3. Мальчик массой 50 кг, стоя на очень гладком льду, бросает груз массой 8 кг под углом 60° к горизонту со скоростью 5 м/с. Какую скорость приобретает мальчик? 1) 5,8 м/с; 2) 1,36 м/с; 3) 0,8 м/с; 4) 0,4 м/с. Решение: Применим закон сохранения импульса. Изначально система "мальчик + груз" покоилась, поэтому ее суммарный импульс равен нулю. После броска груза, импульс системы также должен оставаться равным нулю. Пусть \(m_м\) – масса мальчика, \(v_м\) – скорость мальчика. Пусть \(m_г\) – масса груза, \(v_г\) – скорость груза. По закону сохранения импульса: \[0 = m_м \cdot \vec{v_м} + m_г \cdot \vec{v_г}\] Отсюда: \[m_м \cdot \vec{v_м} = -m_г \cdot \vec{v_г}\] Модули импульсов равны: \[m_м \cdot v_м = m_г \cdot v_г\] Скорость груза \(v_г = 5\) м/с. Масса мальчика \(m_м = 50\) кг. Масса груза \(m_г = 8\) кг. \[v_м = \frac{m_г \cdot v_г}{m_м} = \frac{8 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{50 \text{ кг}} = \frac{40}{50} \text{ м/с} = 0,8 \text{ м/с}\] Угол 60° к горизонту не влияет на модуль скорости мальчика, так как импульс сохраняется по всем осям. Ответ: 3) 0,8 м/с. 4. Товарный вагон, движущийся по горизонтальному пути с небольшой скоростью, сталкивается с другим вагоном и останавливается. При этом пружина буфера сжимается. Какое из перечисленных ниже преобразований энергии наряду с другими происходит в этом процессе? 1) кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины; 2) кинетическая энергия вагона преобразуется в его потенциальную энергию; 3) потенциальная энергия пружины преобразуется в ее кинетическую энергию; 4) внутренняя энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию вагона. Ответ: 1) кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины. 5. Кинетическая энергия тела 8 Дж, а величина импульса 4 Н·с. Масса тела равна... 1) 0,5 кг; 2) 1 кг; 3) 2 кг; 4) 32 кг. Решение: Кинетическая энергия \(E_к\) и импульс \(p\) связаны формулами: \[E_к = \frac{m v^2}{2}\] \[p = m v\] Из формулы импульса выразим скорость: \[v = \frac{p}{m}\] Подставим \(v\) в формулу кинетической энергии: \[E_к = \frac{m \left(\frac{p}{m}\right)^2}{2} = \frac{m \frac{p^2}{m^2}}{2} = \frac{p^2}{2m}\] Теперь выразим массу \(m\): \[m = \frac{p^2}{2E_к}\] Дано: \(E_к = 8\) Дж, \(p = 4\) Н·с. \[m = \frac{(4 \text{ Н} \cdot \text{с})^2}{2 \cdot 8 \text{ Дж}} = \frac{16 \text{ кг}^2 \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{16 \text{ кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2} = 1 \text{ кг}\] Ответ: 2) 1 кг. 6. Навстречу друг другу летят шарики из пластилина. Модули их импульсов равны соответственно 0,03 кг·м/с и 0,04 кг·м/с. Столкнувшись, шарики слипаются. Импульс слипшихся шариков равен 1) 0,01 кг·м/с; 2) 0,0351 кг·м/с; 3) 0,05 кг·м/с; 4) 0,07 кг·м/с. Решение: Применим закон сохранения импульса. Поскольку шарики летят навстречу друг другу, их импульсы имеют противоположные направления. Пусть \(p_1 = 0,03\) кг·м/с и \(p_2 = 0,04\) кг·м/с. Выберем положительное направление, например, в сторону движения первого шарика. Тогда импульс первого шарика будет \(p_1\), а импульс второго шарика \(-p_2\). Суммарный импульс системы до столкновения: \[P_{до} = p_1 - p_2 = 0,03 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 0,04 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = -0,01 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] После столкновения шарики слипаются и движутся как одно целое с импульсом \(P_{после}\). По закону сохранения импульса: \[P_{после} = P_{до}\] \[P_{после} = -0,01 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Модуль импульса слипшихся шариков равен: \[|P_{после}| = |-0,01 \text{ кг} \cdot \text{м/с}| = 0,01 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Ответ: 1) 0,01 кг·м/с. 7. Тело движется по прямой. Под действием постоянной силы величиной 4 Н за 2 с импульс тела увеличился и стал равен 20 кг·м/с. Первоначальный импульс тела равен 1) 4 кг·м/с; 2) 8 кг·м/с; 3) 12 кг·м/с; 4) 28 кг·м/с. Решение: Изменение импульса тела равно импульсу силы: \[\Delta p = F \cdot \Delta t\] где \(\Delta p = p_{конечный} - p_{начальный}\). Дано: \(F = 4\) Н, \(\Delta t = 2\) с, \(p_{конечный} = 20\) кг·м/с. \[\Delta p = 4 \text{ Н} \cdot 2 \text{ с} = 8 \text{ Н} \cdot \text{с} = 8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Теперь найдем первоначальный импульс: \[p_{начальный} = p_{конечный} - \Delta p\] \[p_{начальный} = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 8 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Ответ: 3) 12 кг·м/с. 8. Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной 2 м и массой 100 кг поставить вертикально, медленно поднимая один его конец? 1) 100 Дж; 2) 200 Дж; 3) 1000 Дж; 4) 2000 Дж. Решение: Работа, которую нужно совершить, равна изменению потенциальной энергии стержня. Изначально стержень лежит на земле, его центр масс находится на высоте \(h_1 = 0\) (если считать землю нулевым уровнем). Когда стержень стоит вертикально, его центр масс находится на высоте, равной половине его длины. Длина стержня \(L = 2\) м. Масса стержня \(m = 100\) кг. Высота центра масс в вертикальном положении: \(h_2 = \frac{L}{2} = \frac{2 \text{ м}}{2} = 1 \text{ м}\). Изменение потенциальной энергии: \[\Delta E_п = m g h_2 - m g h_1 = m g h_2\] Примем \(g \approx 10\) м/с\(^2\). \[\Delta E_п = 100 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м} = 1000 \text{ Дж}\] Работа \(A = \Delta E_п\). \[A = 1000 \text{ Дж}\] Ответ: 3) 1000 Дж. 9. Величина работы может быть отрицательной? 1) может; 2) не может; 3) об этом ничего нельзя сказать. Ответ: 1) может. (Работа отрицательна, если сила действует против направления перемещения.) 10. Процесс работы – это: 1) любой процесс превращения энергии; 2) процесс превращения энергии, не связанный с движением тел; 3) процесс превращения энергии при действии сил на движущееся тело. Ответ: 3) процесс превращения энергии при действии сил на движущееся тело. 11. Кинетическая энергия: 1) может быть отрицательной величиной; 2) не может быть отрицательной величиной; 3) может быть и отрицательной, и положительной. Ответ: 2) не может быть отрицательной величиной. (Кинетическая энергия \(E_к = \frac{m v^2}{2}\) всегда неотрицательна, так как масса \(m\) положительна, а скорость \(v\) в квадрате всегда неотрицательна.) 12. Кинетической энергией тело обладает благодаря: 1) взаимодействию с другими телами; 2) благодаря своему движению; 3) благодаря своей деформации. Ответ: 2) благодаря своему движению. 13. Платформа массой 10 т движется со скоростью 2 м/с. Ее нагоняет платформа массой 15 т, движущаяся со скоростью 3 м/с. Какой будет скорость этих платформ после автосцепки? 1) 2,6 м/с; 2) 13 м/с; 3) 26 м/с; 4) 5 м/с. Решение: Применим закон сохранения импульса. Столкновение неупругое (автосцепка), поэтому платформы движутся как одно целое после столкновения. Масса первой платформы \(m_1 = 10\) т \( = 10000\) кг. Скорость первой платформы \(v_1 = 2\) м/с. Масса второй платформы \(m_2 = 15\) т \( = 15000\) кг. Скорость второй платформы \(v_2 = 3\) м/с. Обе платформы движутся в одном направлении (вторая нагоняет первую). Суммарный импульс до столкновения: \[P_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2\] \[P_{до} = 10000 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} + 15000 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с}\] \[P_{до} = 20000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 45000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 65000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] После автосцепки общая масса \(M = m_1 + m_2 = 10000 \text{ кг} + 15000 \text{ кг} = 25000\) кг. Пусть \(V\) – скорость платформ после автосцепки. Суммарный импульс после столкновения: \[P_{после} = M V\] По закону сохранения импульса: \[P_{после} = P_{до}\] \[M V = P_{до}\] \[V = \frac{P_{до}}{M} = \frac{65000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{25000 \text{ кг}} = \frac{65}{25} \text{ м/с} = 2,6 \text{ м/с}\] Ответ: 1) 2,6 м/с. 14. Спортсмен поднял штангу массой 75 кг на высоту 2 м. Потенциальная энергия штанги при этом изменилась на 1) 37,5 Дж; 2) 150 Дж; 3) 300 Дж; 4) 1500 Дж. Решение: Изменение потенциальной энергии \(\Delta E_п\) при подъеме тела на высоту \(h\) равно: \[\Delta E_п = m g h\] Дано: \(m = 75\) кг, \(h = 2\) м. Примем \(g \approx 10\) м/с\(^2\). \[\Delta E_п = 75 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м} = 1500 \text{ Дж}\] Ответ: 4) 1500 Дж. 15. Тело массой 2 кг брошено вертикально вверх с поверхности земли со скоростью 10 м/с. На какой высоте потенциальная и кинетическая энергия тела совпадают? 1) 1 м; 2) 2 м; 3) 2,5 м; 4) 5 м. Решение: Применим закон сохранения механической энергии. Начальная энергия (на поверхности земли, \(h=0\)): \[E_{начальная} = E_{к,начальная} + E_{п,начальная} = \frac{m v_0^2}{2} + m g \cdot 0 = \frac{m v_0^2}{2}\] На высоте \(h\), где потенциальная и кинетическая энергии совпадают (\(E_п = E_к\)): \[E_{конечная} = E_к + E_п\] По условию \(E_к = E_п\), поэтому: \[E_{конечная} = E_п + E_п = 2 E_п\] Также \(E_п = m g h\). Значит, \(E_{конечная} = 2 m g h\). По закону сохранения энергии: \[E_{начальная} = E_{конечная}\] \[\frac{m v_0^2}{2} = 2 m g h\] Масса \(m\) сокращается: \[\frac{v_0^2}{2} = 2 g h\] Выразим высоту \(h\): \[h = \frac{v_0^2}{4 g}\] Дано: \(v_0 = 10\) м/с. Примем \(g \approx 10\) м/с\(^2\). \[h = \frac{(10 \text{ м/с})^2}{4 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{40 \text{ м/с}^2} = \frac{10}{4} \text{ м} = 2,5 \text{ м}\] Ответ: 3) 2,5 м.