Итоговая контрольная работа
за 1 семестр 2025-2026 учебного года
по дисциплине Математика
обучающегося 1 курса группы _________
Ф.И.О. _________________________
Вариант №5
| № задания | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| Число баллов | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 22 |
1. Вычислите, используя свойства степени и арифметического корня
а) \( \frac{7^{211}}{9^{10} \cdot 8^9} \)
Решение:
В данном выражении нет возможности упростить, так как основания степеней разные и не имеют общих множителей. Возможно, в условии опечатка, и имелось в виду что-то другое. Если бы, например, было \( \frac{7^{211}}{7^{10} \cdot 7^9} \), то решение было бы таким:
\( \frac{7^{211}}{7^{10} \cdot 7^9} = \frac{7^{211}}{7^{10+9}} = \frac{7^{211}}{7^{19}} = 7^{211-19} = 7^{192} \)
Но по условию дано \( \frac{7^{211}}{9^{10} \cdot 8^9} \). Это выражение можно только оставить в таком виде или вычислить приближенное значение, что не требуется в задании "вычислите, используя свойства степени".
Предположим, что в задании опечатка и вместо \( 9^{10} \cdot 8^9 \) должно быть \( 7^{10} \cdot 7^9 \). Тогда:
\( \frac{7^{211}}{7^{10} \cdot 7^9} = \frac{7^{211}}{7^{10+9}} = \frac{7^{211}}{7^{19}} = 7^{211-19} = 7^{192} \)
Если же опечатки нет, то выражение остается в исходном виде.
б) \( \frac{\sqrt{128} \cdot \sqrt{28}}{\sqrt{14}} \)
Решение:
Используем свойство корней \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) и \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \).
\( \frac{\sqrt{128} \cdot \sqrt{28}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{128 \cdot 28}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{128 \cdot 28}{14}} \)
Сократим 28 и 14:
\( \sqrt{\frac{128 \cdot 2}{1}} = \sqrt{256} \)
\( \sqrt{256} = 16 \)
Ответ: 16
в) \( \frac{(7\sqrt{3})^2}{21} \)
Решение:
Используем свойство степени \( (ab)^n = a^n b^n \) и \( (\sqrt{a})^2 = a \).
\( (7\sqrt{3})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147 \)
Теперь подставим это значение в выражение:
\( \frac{147}{21} \)
Выполним деление:
\( 147 \div 21 = 7 \)
Ответ: 7
2. Вычислите значение выражения, используя свойства логарифма
а) \( 5^{3+\log_5 3} \)
Решение:
Используем свойство степени \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \) и основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \).
\( 5^{3+\log_5 3} = 5^3 \cdot 5^{\log_5 3} \)
\( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
\( 5^{\log_5 3} = 3 \)
Теперь перемножим полученные значения:
\( 125 \cdot 3 = 375 \)
Ответ: 375
б) \( \log_6 0,8 + \log_6 45 - \frac{\log_3 826}{2\log_3 8} \)
Решение:
Сначала упростим первые два слагаемых, используя свойство логарифмов \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) \).
\( \log_6 0,8 + \log_6 45 = \log_6 (0,8 \cdot 45) \)
\( 0,8 \cdot 45 = \frac{8}{10} \cdot 45 = \frac{4}{5} \cdot 45 = 4 \cdot 9 = 36 \)
Значит, \( \log_6 36 \). Так как \( 6^2 = 36 \), то \( \log_6 36 = 2 \).
Теперь рассмотрим третье слагаемое: \( \frac{\log_3 826}{2\log_3 8} \).
Здесь, вероятно, опечатка в числе 826. Если бы это было \( \log_3 64 \), то можно было бы упростить.
Предположим, что в числителе \( \log_3 64 \). Тогда:
\( \frac{\log_3 64}{2\log_3 8} = \frac{\log_3 8^2}{2\log_3 8} = \frac{2\log_3 8}{2\log_3 8} = 1 \)
В этом случае, ответ был бы \( 2 - 1 = 1 \).
Если же опечатки нет, то \( \frac{\log_3 826}{2\log_3 8} \) не упрощается до целого числа.
Давайте предположим, что в задании опечатка и вместо 826 должно быть 64.
Тогда:
\( \log_6 0,8 + \log_6 45 - \frac{\log_3 64}{2\log_3 8} = \log_6 (0,8 \cdot 45) - \frac{\log_3 8^2}{2\log_3 8} \)
\( = \log_6 36 - \frac{2\log_3 8}{2\log_3 8} = 2 - 1 = 1 \)
Если же опечатки нет, то выражение остается в виде \( 2 - \frac{\log_3 826}{2\log_3 8} \).
г) \( \log_5 60 - \frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5} \)
Решение:
Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).
Тогда \( \frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5} = \log_5 12 \).
Теперь подставим это в исходное выражение:
\( \log_5 60 - \log_5 12 \)
Используем свойство логарифмов \( \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right) \).
\( \log_5 \left(\frac{60}{12}\right) = \log_5 5 \)
Так как \( 5^1 = 5 \), то \( \log_5 5 = 1 \).
Ответ: 1
3. Решите простейшие уравнения
а) \( \sqrt{2x-3} = -3 \)
Решение:
Арифметический квадратный корень по определению всегда неотрицателен, то есть \( \sqrt{A} \ge 0 \).
В данном уравнении \( \sqrt{2x-3} = -3 \), левая часть (корень) должна быть неотрицательной, а правая часть равна -3, что является отрицательным числом.
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: Нет решений.
б) \( 16^{3x+13} = \frac{1}{16} \)
Решение:
Представим правую часть уравнения как степень с основанием 16.
\( \frac{1}{16} = 16^{-1} \)
Теперь уравнение принимает вид:
\( 16^{3x+13} = 16^{-1} \)
Так как основания степеней равны, то и показатели степеней должны быть равны:
\( 3x+13 = -1 \)
Перенесем 13 в правую часть:
\( 3x = -1 - 13 \)
\( 3x = -14 \)
Разделим обе части на 3:
\( x = -\frac{14}{3} \)
Ответ: \( x = -\frac{14}{3} \)
в) \( \log_{\frac{1}{3}}(5x-6) = -2 \)
Решение:
По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
В нашем случае \( a = \frac{1}{3} \), \( b = 5x-6 \), \( c = -2 \).
Значит, \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 5x-6 \).
Вычислим \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \):
\( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 \)
Теперь уравнение принимает вид:
\( 9 = 5x-6 \)
Перенесем -6 в левую часть:
\( 9+6 = 5x \)
\( 15 = 5x \)
Разделим обе части на 5:
\( x = \frac{15}{5} \)
\( x = 3 \)
Необходимо также проверить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: \( 5x-6 > 0 \).
При \( x=3 \): \( 5(3)-6 = 15-6 = 9 \). Так как \( 9 > 0 \), то \( x=3 \) является решением.
Ответ: \( x = 3 \)
4. Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, укажите в ответ меньший из них
\( \sqrt{-14-9x} = -x \)
Решение:
Для решения этого уравнения возведем обе части в квадрат.
Перед этим необходимо учесть ОДЗ и условие, что правая часть должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому корню.
Условия:
1) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( -14-9x \ge 0 \)
2) Правая часть должна быть неотрицательной: \( -x \ge 0 \), что означает \( x \le 0 \)
Решим первое условие:
\( -9x \ge 14 \)
\( x \le -\frac{14}{9} \) (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)
Объединяя условия \( x \le 0 \) и \( x \le -\frac{14}{9} \), получаем \( x \le -\frac{14}{9} \).
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
\( (\sqrt{-14-9x})^2 = (-x)^2 \)
\( -14-9x = x^2 \)
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( x^2 + 9x + 14 = 0 \)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) или по теореме Виета.
\( D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 \)
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
\( x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию \( x \le -\frac{14}{9} \).
\( -\frac{14}{9} \approx -1,55 \)
Для \( x_1 = -2 \): \( -2 \le -1,55 \) - это верно.
Для \( x_2 = -7 \): \( -7 \le -1,55 \) - это верно.
Оба корня удовлетворяют условиям.
В задании просят указать меньший из корней.
Сравним \( -2 \) и \( -7 \). Меньший корень - это \( -7 \).
Ответ: \( -7 \)
5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя за скобки
\( 6^{x+1} - 2 \cdot 6^x = 144 \)
Решение:
Представим \( 6^{x+1} \) как \( 6^x \cdot 6^1 \).
\( 6^x \cdot 6 - 2 \cdot 6^x = 144 \)
Вынесем общий множитель \( 6^x \) за скобки:
\( 6^x (6 - 2) = 144 \)
\( 6^x \cdot 4 = 144 \)
Разделим обе части на 4:
\( 6^x = \frac{144}{4} \)
\( 6^x = 36 \)
Представим 36 как степень с основанием 6:
\( 36 = 6^2 \)
Теперь уравнение принимает вид:
\( 6^x = 6^2 \)
Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны:
\( x = 2 \)
Ответ: \( x = 2 \)
6. Решите уравнение методом введения новой переменной
\( \log_4^2 x - 4 \log_4 x + 3 = 0 \)
Решение:
Введем новую переменную. Пусть \( y = \log_4 x \).
Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно \( y \):
\( y^2 - 4y + 3 = 0 \)
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (сумма корней равна 4, произведение равно 3) или дискриминант.
Корни: \( y_1 = 1 \), \( y_2 = 3 \).
Теперь вернемся к исходной переменной \( x \), подставив значения \( y \) обратно в замену \( y = \log_4 x \).
Случай 1: \( y_1 = 1 \)
\( \log_4 x = 1 \)
По определению логарифма, \( x = 4^1 \)
\( x_1 = 4 \)
Случай 2: \( y_2 = 3 \)
\( \log_4 x = 3 \)
По определению логарифма, \( x = 4^3 \)
\( x_2 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)
Необходимо также проверить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: \( x > 0 \).
Оба найденных корня \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 64 \) удовлетворяют условию \( x > 0 \).
Ответ: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 64 \)
7. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости \( \alpha \), если длина наклонной равна 30 см, а длина проекции наклонной 18 см.
Решение:
Представим ситуацию:
Пусть точка А находится вне плоскости \( \alpha \).
Из точки А проведен перпендикуляр к плоскости \( \alpha \). Обозначим его длину как \( h \).
Из точки А проведена наклонная к плоскости \( \alpha \). Ее длина дана и равна 30 см.
Проекция наклонной на плоскость \( \alpha \) - это отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной. Ее длина дана и равна 18 см.
Перпендикуляр, наклонная и ее проекция образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- Гипотенуза - это наклонная (30 см).
- Один катет - это перпендикуляр (искомая длина \( h \)).
- Другой катет - это проекция наклонной (18 см).
По теореме Пифагора: \( \text{гипотенуза}^2 = \text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 \).
В нашем случае: \( 30^2 = h^2 + 18^2 \).
Вычислим квадраты:
\( 30^2 = 900 \)
\( 18^2 = 324 \)
Подставим значения в уравнение:
\( 900 = h^2 + 324 \)
Чтобы найти \( h^2 \), вычтем 324 из 900:
\( h^2 = 900 - 324 \)
\( h^2 = 576 \)
Теперь найдем \( h \), извлекая квадратный корень из 576:
\( h = \sqrt{576} \)
\( h = 24 \)
Длина перпендикуляра равна 24 см.
Ответ: 24 см
8. Решите неравенства
а) \( 5^{4x+9} \ge \frac{1}{125} \)
Решение:
Представим правую часть неравенства как степень с основанием 5.
\( \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3} \)
Теперь неравенство принимает вид:
\( 5^{4x+9} \ge 5^{-3} \)
Так как основание степени \( 5 > 1 \), то функция \( y = 5^t \) является возрастающей. Это означает, что при сравнении степеней с одинаковым основанием, знак неравенства сохраняется для показателей.
\( 4x+9 \ge -3 \)
Перенесем 9 в правую часть:
\( 4x \ge -3 - 9 \)
\( 4x \ge -12 \)
Разделим обе части на 4:
\( x \ge \frac{-12}{4} \)
\( x \ge -3 \)
Ответ: \( x \ge -3 \) или в интервальной записи \( [-3; +\infty) \)
б) \( \log_{\frac{1}{3}}(4x-8) > \log_{\frac{1}{3}}(x+1) \)
Решение:
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов.
1) \( 4x-8 > 0 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow x > 2 \)
2) \( x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
Объединяя эти условия, получаем \( x > 2 \).
Теперь решим само неравенство.
\( \log_{\frac{1}{3}}(4x-8) > \log_{\frac{1}{3}}(x+1) \)
Так как основание логарифма \( \frac{1}{3} \) находится в интервале \( 0 < a < 1 \), то функция \( y = \log_{\frac{1}{3}} t \) является убывающей. Это означает, что при сравнении логарифмов с одинаковым основанием, знак неравенства меняется на противоположный для их аргументов.
\( 4x-8 < x+1 \)
Перенесем \( x \) в левую часть, а -8 в правую:
\( 4x - x < 1 + 8 \)
\( 3x < 9 \)
Разделим обе части на 3:
\( x < 3 \)
Теперь объединим полученное решение \( x < 3 \) с ОДЗ \( x > 2 \).
Общее решение: \( 2 < x < 3 \).
Ответ: \( 2 < x < 3 \) или в интервальной записи \( (2; 3) \)
9. Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} x + y = 4 \\ \log_{81} 3^{2x-y} = 2 \end{cases} \]
Решение:
Рассмотрим второе уравнение системы: \( \log_{81} 3^{2x-y} = 2 \).
По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
В нашем случае \( a = 81 \), \( b = 3^{2x-y} \), \( c = 2 \).
Значит, \( 81^2 = 3^{2x-y} \).
Представим 81 как степень с основанием 3: \( 81 = 3^4 \).
Тогда \( (3^4)^2 = 3^{2x-y} \).
Используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
\( 3^{4 \cdot 2} = 3^{2x-y} \)
\( 3^8 = 3^{2x-y} \)
Так как основания степеней равны, то и показатели степеней должны быть равны:
\( 2x-y = 8 \)
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 8 \end{cases} \] Решим эту систему методом сложения. Сложим первое уравнение со вторым:
\( (x + y) + (2x - y) = 4 + 8 \)
\( x + y + 2x - y = 12 \)
\( 3x = 12 \)
Разделим обе части на 3:
\( x = \frac{12}{3} \)
\( x = 4 \)
Теперь подставим значение \( x = 4 \) в первое уравнение \( x + y = 4 \):
\( 4 + y = 4 \)
\( y = 4 - 4 \)
\( y = 0 \)
Проверим решение, подставив \( x=4 \) и \( y=0 \) во второе уравнение \( 2x-y=8 \):
\( 2(4) - 0 = 8 \)
\( 8 - 0 = 8 \)
\( 8 = 8 \) - верно.
Также необходимо учесть ОДЗ для логарифма. Аргумент логарифма \( 3^{2x-y} \) всегда положителен, так как это степень положительного числа.
Ответ: \( x = 4, y = 0 \)
Процент выполнения
| Процент выполнения | Баллы | Оценка |
| менее 50% | 0-10 | неудовлетворительно |
| от 51% до 65% | 11-14 | удовлетворительно |
| от 66% до 85% | 15-18 | хорошо |
| от 86% до 100% | 19-22 | отлично |
Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!