Содержание работы.
Вариант-1
1. Исследуйте график функции и постройте график любой из них:
Выберем функцию а) \(y = 2x^2 - x\).
Исследование функции \(y = 2x^2 - x\):
1. Область определения функции:
Функция \(y = 2x^2 - x\) является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений \(x\).
Область определения: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\).
2. Четность/нечетность функции:
Проверим \(y(-x)\):
\[y(-x) = 2(-x)^2 - (-x) = 2x^2 + x\]Так как \(y(-x) \neq y(x)\) и \(y(-x) \neq -y(x)\), функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осями координат:
а) С осью \(Oy\) (при \(x = 0\)):
\[y = 2(0)^2 - 0 = 0\]Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 0)\).
б) С осью \(Ox\) (при \(y = 0\)):
\[2x^2 - x = 0\] \[x(2x - 1) = 0\]Отсюда \(x = 0\) или \(2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((0; 0)\) и \((\frac{1}{2}; 0)\).
4. Вершина параболы:
Для параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\) координаты вершины \((x_в; y_в)\) находятся по формулам:
\[x_в = -\frac{b}{2a}\] \[y_в = y(x_в)\]В нашем случае \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 0\).
\[x_в = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}\] \[y_в = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8}\]Координаты вершины: \((\frac{1}{4}; -\frac{1}{8})\).
5. Направление ветвей параболы:
Так как коэффициент \(a = 2 > 0\), ветви параболы направлены вверх.
6. Монотонность функции:
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после вершины.
Функция убывает на интервале \((-\infty; \frac{1}{4}]\).
Функция возрастает на интервале \([\frac{1}{4}; +\infty)\).
7. Экстремумы функции:
В точке \(x_в = \frac{1}{4}\) функция имеет минимум.
Минимальное значение функции: \(y_{min} = -\frac{1}{8}\).
8. Область значений функции:
Так как ветви параболы направлены вверх и минимальное значение \(y = -\frac{1}{8}\), область значений функции:
\(E(y) = [-\frac{1}{8}; +\infty)\).
Построение графика функции \(y = 2x^2 - x\):
Для построения графика используем найденные точки и свойства:
- Вершина: \((\frac{1}{4}; -\frac{1}{8})\) или \((0.25; -0.125)\).
- Точки пересечения с осью \(Ox\): \((0; 0)\) и \((\frac{1}{2}; 0)\) или \((0.5; 0)\).
- Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 0)\).
Дополнительные точки для более точного построения:
- При \(x = 1\): \(y = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1\). Точка \((1; 1)\).
- При \(x = -1\): \(y = 2(-1)^2 - (-1) = 2 + 1 = 3\). Точка \((-1; 3)\).
Теперь можно построить график, отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой (параболой).
График функции \(y = 2x^2 - x\):
Нарисуйте координатную плоскость. Отметьте на ней следующие точки:
- Вершина: \((0.25; -0.125)\)
- Точки пересечения с осью \(Ox\): \((0; 0)\) и \((0.5; 0)\)
- Дополнительные точки: \((1; 1)\) и \((-1; 3)\)
Соедините эти точки плавной кривой, помня, что ветви параболы направлены вверх.
(Здесь должен быть рисунок графика параболы, но я не могу его нарисовать. Представьте себе параболу, проходящую через указанные точки, с вершиной внизу и ветвями, идущими вверх.)