Решение задачи о параллельных заряженных плоскостях

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Вариант 4

1. На рисунке приведена система бесконечных параллельных плоскостей, находящихся на расстоянии 1 см друг от друга. Поверхностные плотности зарядов на плоскостях \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) и \(\sigma_3\) соответственно равны 10, -15, 20 мкКл/м\(^2\). Найти: а) напряженность поля в точках A, B, C, D; б) разность потенциалов между плоскостями 1 и 2.

Дано: Расстояние между плоскостями \(d = 1\) см \( = 0.01\) м Поверхностные плотности зарядов: \(\sigma_1 = 10\) мкКл/м\(^2 = 10 \cdot 10^{-6}\) Кл/м\(^2\) \(\sigma_2 = -15\) мкКл/м\(^2 = -15 \cdot 10^{-6}\) Кл/м\(^2\) \(\sigma_3 = 20\) мкКл/м\(^2 = 20 \cdot 10^{-6}\) Кл/м\(^2\) Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}\) Ф/м

Найти: а) \(E_A\), \(E_B\), \(E_C\), \(E_D\) б) \(\Delta\varphi_{12}\)

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого одной бесконечной равномерно заряженной плоскостью, определяется формулой: \[E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}\] Направление вектора напряженности поля от положительно заряженной плоскости и к отрицательно заряженной плоскости.

Для нашей системы плоскостей, результирующая напряженность поля в любой точке будет векторной суммой напряженностей полей, создаваемых каждой плоскостью.

Обозначим напряженности полей от каждой плоскости: \(E_{1, \text{модуль}} = \frac{|\sigma_1|}{2\varepsilon_0}\) \(E_{2, \text{модуль}} = \frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0}\) \(E_{3, \text{модуль}} = \frac{|\sigma_3|}{2\varepsilon_0}\)

Вычислим значения модулей напряженностей: \(E_{1, \text{модуль}} = \frac{10 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{10 \cdot 10^6}{17.7} \approx 0.565 \cdot 10^6\) В/м \(E_{2, \text{модуль}} = \frac{15 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{15 \cdot 10^6}{17.7} \approx 0.847 \cdot 10^6\) В/м \(E_{3, \text{модуль}} = \frac{20 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{20 \cdot 10^6}{17.7} \approx 1.130 \cdot 10^6\) В/м

Примем положительное направление оси X вправо.

а) Напряженность поля в точках A, B, C, D.

Точка A (слева от плоскости 1): Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено влево. Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено вправо. Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено влево. \[E_A = -E_{1, \text{модуль}} + E_{2, \text{модуль}} - E_{3, \text{модуль}}\] \[E_A = -0.565 \cdot 10^6 + 0.847 \cdot 10^6 - 1.130 \cdot 10^6\] \[E_A = (-0.565 + 0.847 - 1.130) \cdot 10^6 = -0.848 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление влево.

Точка B (между плоскостями 1 и 2): Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено вправо. Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено вправо. Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено влево. \[E_B = E_{1, \text{модуль}} + E_{2, \text{модуль}} - E_{3, \text{модуль}}\] \[E_B = 0.565 \cdot 10^6 + 0.847 \cdot 10^6 - 1.130 \cdot 10^6\] \[E_B = (0.565 + 0.847 - 1.130) \cdot 10^6 = 0.282 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление вправо.

Точка C (между плоскостями 2 и 3): Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено вправо. Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено влево. Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено влево. \[E_C = E_{1, \text{модуль}} - E_{2, \text{модуль}} - E_{3, \text{модуль}}\] \[E_C = 0.565 \cdot 10^6 - 0.847 \cdot 10^6 - 1.130 \cdot 10^6\] \[E_C = (0.565 - 0.847 - 1.130) \cdot 10^6 = -1.412 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление влево.

Точка D (справа от плоскости 3): Поле от \(\sigma_1\) (положительная) направлено вправо. Поле от \(\sigma_2\) (отрицательная) направлено вправо. Поле от \(\sigma_3\) (положительная) направлено вправо. \[E_D = E_{1, \text{модуль}} + E_{2, \text{модуль}} + E_{3, \text{модуль}}\] \[E_D = 0.565 \cdot 10^6 + 0.847 \cdot 10^6 + 1.130 \cdot 10^6\] \[E_D = (0.565 + 0.847 + 1.130) \cdot 10^6 = 2.542 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление вправо.

б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2.

Разность потенциалов между двумя плоскостями в однородном электрическом поле равна произведению напряженности поля на расстояние между плоскостями: \[\Delta\varphi_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 = E_{\text{между 1 и 2}} \cdot d\] Поле между плоскостями 1 и 2 равно \(E_B\). \[\Delta\varphi_{12} = E_B \cdot d\] \[\Delta\varphi_{12} = (0.282 \cdot 10^6 \text{ В/м}) \cdot (0.01 \text{ м})\] \[\Delta\varphi_{12} = 0.282 \cdot 10^4 \text{ В}\]

Ответ: а) Напряженность поля в точках: \(E_A \approx -0.848 \cdot 10^6\) В/м (направлена влево) \(E_B \approx 0.282 \cdot 10^6\) В/м (направлена вправо) \(E_C \approx -1.412 \cdot 10^6\) В/м (направлена влево) \(E_D \approx 2.542 \cdot 10^6\) В/м (направлена вправо)

б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2: \(\Delta\varphi_{12} \approx 0.282 \cdot 10^4\) В