Решение задачи с векторами: Вариант 2

Вот решения задач из Варианта 2, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант 2. 1. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\). Постройте векторы, равные: а) \(3\vec{m} + 2\vec{n}\) б) \(3\vec{n} - 7\vec{n}\) Решение: Для выполнения этого задания нужно начертить векторы. Сначала начертим два неколлинеарных вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) (то есть они не лежат на одной прямой и не параллельны). а) Построение вектора \(3\vec{m} + 2\vec{n}\): 1. Отложим от некоторой точки три вектора, равных \(\vec{m}\), последовательно друг за другом. Получим вектор \(3\vec{m}\). 2. От начала вектора \(3\vec{m}\) (или от той же начальной точки, что и для \(3\vec{m}\)) отложим два вектора, равных \(\vec{n}\), последовательно друг за другом. Получим вектор \(2\vec{n}\). 3. Для построения суммы \(3\vec{m} + 2\vec{n}\) можно использовать правило треугольника или параллелограмма. * Правило треугольника: От конца вектора \(3\vec{m}\) отложим вектор \(2\vec{n}\). Вектор, соединяющий начало \(3\vec{m}\) и конец \(2\vec{n}\), будет искомым вектором \(3\vec{m} + 2\vec{n}\). * Правило параллелограмма: От одной точки отложим векторы \(3\vec{m}\) и \(2\vec{n}\). Построим параллелограмм на этих векторах. Диагональ параллелограмма, выходящая из общей начальной точки, будет искомым вектором \(3\vec{m} + 2\vec{n}\). б) Построение вектора \(3\vec{n} - 7\vec{n}\): Сначала упростим выражение: \(3\vec{n} - 7\vec{n} = (3 - 7)\vec{n} = -4\vec{n}\). 1. Начертим вектор \(\vec{n}\). 2. Вектор \(-4\vec{n}\) будет иметь длину в 4 раза больше, чем \(\vec{n}\), и будет направлен в противоположную сторону от \(\vec{n}\). 2. Начертите три неколлинеарных вектора \(\vec{m}\), \(\vec{n}\) и \(\vec{k}\). Постройте векторы, равные: а. \(3\vec{m}\) б. \(2\vec{n}\) в. \(-4\vec{k}\) Решение: Сначала начертим три неколлинеарных вектора \(\vec{m}\), \(\vec{n}\) и \(\vec{k}\). а. Построение вектора \(3\vec{m}\): Вектор \(3\vec{m}\) будет иметь то же направление, что и \(\vec{m}\), но его длина будет в 3 раза больше длины \(\vec{m}\). б. Построение вектора \(2\vec{n}\): Вектор \(2\vec{n}\) будет иметь то же направление, что и \(\vec{n}\), но его длина будет в 2 раза больше длины \(\vec{n}\). в. Построение вектора \(-4\vec{k}\): Вектор \(-4\vec{k}\) будет иметь направление, противоположное \(\vec{k}\), и его длина будет в 4 раза больше длины \(\vec{k}\). 3. В трапеции основания равны 10 и 22 см. Найдите среднюю линию трапеции. Решение: Пусть \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции. Дано: \(a = 10\) см, \(b = 22\) см. Средняя линия трапеции \(m\) вычисляется по формуле: \[m = \frac{a + b}{2}\] Подставим значения: \[m = \frac{10 + 22}{2}\] \[m = \frac{32}{2}\] \[m = 16\] Ответ: Средняя линия трапеции равна 16 см. 4. На стороне \(CD\) квадрата \(ABCD\) лежит точка \(P\) такая, что \(CP = PD\). \(O\) - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\vec{BO}\), \(\vec{BP}\), \(\vec{PA}\) через векторы \(\vec{x} = \vec{BA}\) и \(\vec{y} = \vec{BC}\). Решение: Дано: Квадрат \(ABCD\). \(P\) на \(CD\), \(CP = PD\). \(O\) - точка пересечения диагоналей. Векторы: \(\vec{x} = \vec{BA}\), \(\vec{y} = \vec{BC}\). Свойства квадрата: * Все стороны равны: \(AB = BC = CD = DA\). * Противоположные стороны параллельны: \(\vec{AB} = \vec{DC}\), \(\vec{BC} = \vec{AD}\). * Диагонали делятся точкой пересечения пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\). * Диагонали равны и перпендикулярны. Выразим векторы через \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\): Из условия \(\vec{x} = \vec{BA}\) и \(\vec{y} = \vec{BC}\). Тогда \(\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{x}\). \(\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{y}\) (так как \(ABCD\) - квадрат, \(\vec{AD}\) параллелен и равен \(\vec{BC}\)). \(\vec{DC} = \vec{AB} = -\vec{x}\). 1. Выразим \(\vec{BO}\): Точка \(O\) - середина диагонали \(BD\). По правилу сложения векторов: \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\). \(\vec{BD} = \vec{x} + \vec{y}\). Так как \(O\) - середина \(BD\), то \(\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}\). \(\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})\). 2. Выразим \(\vec{BP}\): Точка \(P\) - середина стороны \(CD\), так как \(CP = PD\). \(\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP}\). Мы знаем \(\vec{BC} = \vec{y}\). Вектор \(\vec{CP}\) направлен так же, как \(\vec{CD}\). \(\vec{CD} = \vec{BA} = \vec{x}\) (в квадрате \(\vec{CD}\) параллелен и равен \(\vec{BA}\), и направлен в ту же сторону). Так как \(P\) - середина \(CD\), то \(\vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{CD}\). \(\vec{CP} = \frac{1}{2}\vec{x}\). Следовательно, \(\vec{BP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{x}\). 3. Выразим \(\vec{PA}\): \(\vec{PA} = \vec{PD} + \vec{DA}\). Мы знаем, что \(\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{y}\). Вектор \(\vec{PD}\) направлен так же, как \(\vec{CD}\). \(\vec{CD} = \vec{BA} = \vec{x}\). Так как \(P\) - середина \(CD\), то \(\vec{PD} = \frac{1}{2}\vec{CD}\). \(\vec{PD} = \frac{1}{2}\vec{x}\). Следовательно, \(\vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}\). Ответ: \(\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})\) \(\vec{BP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{x}\) \(\vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}\) 5. В параллелограмме \(ABCD\), \(O\) - точка пересечения диагоналей. Верно ли, что (ответ поясните): а) \(\vec{BO} = \vec{OD}\) б) \(\vec{CO} = \vec{OC}\) в) \(\vec{BA} = \vec{BC}\) Решение: В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. а) \(\vec{BO} = \vec{OD}\) Это утверждение верно. Пояснение: Точка \(O\) является серединой диагонали \(BD\). Это означает, что отрезки \(BO\) и \(OD\) равны по длине. Кроме того, векторы \(\vec{BO}\) и \(\vec{OD}\) направлены в одну и ту же сторону (от \(B\) к \(O\) и от \(O\) к \(D\)). Следовательно, они равны. б) \(\vec{CO} = \vec{OC}\) Это утверждение неверно. Пояснение: Вектор \(\vec{CO}\) направлен от \(C\) к \(O\). Вектор \(\vec{OC}\) направлен от \(O\) к \(C\). Эти векторы имеют одинаковую длину (так как \(O\) - середина \(AC\)), но противоположное направление. Поэтому \(\vec{CO} = -\vec{OC}\). в) \(\vec{BA} = \vec{BC}\) Это утверждение неверно. Пояснение: Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) имеют общее начало \(B\). Они будут равны только в том случае, если точка \(A\) совпадает с точкой \(C\), что невозможно для параллелограмма (если только он не вырожден). В общем случае, \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) - это смежные стороны параллелограмма, они имеют разные направления (если угол \(ABC\) не равен 0 или 180 градусов) и, как правило, разные длины (если параллелограмм не ромб или квадрат).