Решение задачи: Параллельные заряженные плоскости

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Вариант 4

1. На рисунке приведена система бесконечных параллельных плоскостей, находящихся на расстоянии 1 см друг от друга. Поверхностные плотности зарядов на плоскостях \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) и \(\sigma_3\) соответственно равны 10, -15, 20 мкКл/м\(^2\). Найти: а) напряженность поля в точках A, B, C, D; б) разность потенциалов между плоскостями 1 и 2.

Дано: Расстояние между плоскостями \(d = 1\) см \( = 0.01\) м Поверхностные плотности зарядов: \(\sigma_1 = 10\) мкКл/м\(^2 = 10 \cdot 10^{-6}\) Кл/м\(^2\) \(\sigma_2 = -15\) мкКл/м\(^2 = -15 \cdot 10^{-6}\) Кл/м\(^2\) \(\sigma_3 = 20\) мкКл/м\(^2 = 20 \cdot 10^{-6}\) Кл/м\(^2\) Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}\) Ф/м

Найти: а) \(E_A\), \(E_B\), \(E_C\), \(E_D\) б) \(\Delta\varphi_{12}\)

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого одной бесконечной равномерно заряженной плоскостью, определяется формулой: \[E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}\] Направление вектора напряженности поля от положительно заряженной плоскости и к отрицательно заряженной плоскости.

Для нашей системы плоскостей, результирующая напряженность поля в любой точке будет векторной суммой напряженностей полей, создаваемых каждой плоскостью.

Вычислим значения напряженностей, создаваемых каждой плоскостью, с учетом знака заряда. Примем положительное направление оси X вправо. \[E_1 = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} = \frac{10 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{10 \cdot 10^6}{17.7} \approx 0.565 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] \[E_2 = \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} = \frac{-15 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{-15 \cdot 10^6}{17.7} \approx -0.847 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] \[E_3 = \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{20 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{20 \cdot 10^6}{17.7} \approx 1.130 \cdot 10^6 \text{ В/м}\]

а) Напряженность поля в точках A, B, C, D.

Точка A (слева от плоскости 1): Поле от \(\sigma_1\) направлено влево (от положительной плоскости). Поле от \(\sigma_2\) направлено вправо (к отрицательной плоскости). Поле от \(\sigma_3\) направлено влево (от положительной плоскости). \[E_A = -E_1 + (-E_2) - E_3 = \frac{1}{2\varepsilon_0}(-\sigma_1 - \sigma_2 - \sigma_3)\] \[E_A = \frac{1}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} (-10 \cdot 10^{-6} - (-15 \cdot 10^{-6}) - 20 \cdot 10^{-6})\] \[E_A = \frac{10^{-6}}{17.7 \cdot 10^{-12}} (-10 + 15 - 20) = \frac{10^6}{17.7} (-15)\] \[E_A \approx -0.847 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление влево.

Точка B (между плоскостями 1 и 2): Поле от \(\sigma_1\) направлено вправо. Поле от \(\sigma_2\) направлено вправо. Поле от \(\sigma_3\) направлено влево. \[E_B = E_1 + (-E_2) - E_3 = \frac{1}{2\varepsilon_0}(\sigma_1 - \sigma_2 - \sigma_3)\] \[E_B = \frac{1}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} (10 \cdot 10^{-6} - (-15 \cdot 10^{-6}) - 20 \cdot 10^{-6})\] \[E_B = \frac{10^{-6}}{17.7 \cdot 10^{-12}} (10 + 15 - 20) = \frac{10^6}{17.7} (5)\] \[E_B \approx 0.282 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление вправо.

Точка C (между плоскостями 2 и 3): Поле от \(\sigma_1\) направлено вправо. Поле от \(\sigma_2\) направлено влево. Поле от \(\sigma_3\) направлено влево. \[E_C = E_1 + E_2 - E_3 = \frac{1}{2\varepsilon_0}(\sigma_1 + \sigma_2 - \sigma_3)\] \[E_C = \frac{1}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} (10 \cdot 10^{-6} + (-15 \cdot 10^{-6}) - 20 \cdot 10^{-6})\] \[E_C = \frac{10^{-6}}{17.7 \cdot 10^{-12}} (10 - 15 - 20) = \frac{10^6}{17.7} (-25)\] \[E_C \approx -1.412 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление влево.

Точка D (справа от плоскости 3): Поле от \(\sigma_1\) направлено вправо. Поле от \(\sigma_2\) направлено вправо. Поле от \(\sigma_3\) направлено вправо. \[E_D = E_1 + (-E_2) + E_3 = \frac{1}{2\varepsilon_0}(\sigma_1 - \sigma_2 + \sigma_3)\] \[E_D = \frac{1}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} (10 \cdot 10^{-6} - (-15 \cdot 10^{-6}) + 20 \cdot 10^{-6})\] \[E_D = \frac{10^{-6}}{17.7 \cdot 10^{-12}} (10 + 15 + 20) = \frac{10^6}{17.7} (45)\] \[E_D \approx 2.542 \cdot 10^6 \text{ В/м}\] Направление вправо.

б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2.

Разность потенциалов между двумя плоскостями в однородном электрическом поле равна произведению напряженности поля на расстояние между плоскостями: \[\Delta\varphi_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 = E_{\text{между 1 и 2}} \cdot d\] Поле между плоскостями 1 и 2 равно \(E_B\). \[\Delta\varphi_{12} = E_B \cdot d\] \[\Delta\varphi_{12} = (0.282 \cdot 10^6 \text{ В/м}) \cdot (0.01 \text{ м})\] \[\Delta\varphi_{12} = 0.282 \cdot 10^4 \text{ В}\]

Ответ: а) Напряженность поля в точках: \(E_A \approx -0.847 \cdot 10^6\) В/м (направлена влево) \(E_B \approx 0.282 \cdot 10^6\) В/м (направлена вправо) \(E_C \approx -1.412 \cdot 10^6\) В/м (направлена влево) \(E_D \approx 2.542 \cdot 10^6\) В/м (направлена вправо)

б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2: \(\Delta\varphi_{12} \approx 0.282 \cdot 10^4\) В