Решение задач на свойства логарифмов

Вот решения задач с использованием свойств логарифма, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вычислите, используя свойства логарифма: 1. \( \log_3 1 = 0 \) (Потому что любое число в степени 0 равно 1. \( 3^0 = 1 \)) 2. \( \log_3 9^4 = \) \( = 4 \cdot \log_3 9 \) \( = 4 \cdot 2 \) \( = 8 \) (Потому что \( 9 = 3^2 \), значит \( \log_3 9 = 2 \). Свойство: \( \log_a b^c = c \cdot \log_a b \)) 3. \( \log_3 40,5 + \log_3 2 = \) \( = \log_3 (40,5 \cdot 2) \) \( = \log_3 81 \) \( = 4 \) (Потому что \( 81 = 3^4 \). Свойство: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)) 4. \( \log_3 (27 \cdot 3^{21}) = \) \( = \log_3 27 + \log_3 3^{21} \) \( = 3 + 21 \) \( = 24 \) (Потому что \( 27 = 3^3 \), значит \( \log_3 27 = 3 \). Свойство: \( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \) и \( \log_a a^c = c \)) 5. \( \log_{3^2} 9 = \) \( = \log_9 9 \) \( = 1 \) (Потому что \( 3^2 = 9 \). Свойство: \( \log_a a = 1 \)) 6. \( \log_{11} 121^{10} = \) \( = 10 \cdot \log_{11} 121 \) \( = 10 \cdot 2 \) \( = 20 \) (Потому что \( 121 = 11^2 \), значит \( \log_{11} 121 = 2 \). Свойство: \( \log_a b^c = c \cdot \log_a b \)) 7. \( \log_2 (8 \cdot 2^{11}) = \) \( = \log_2 8 + \log_2 2^{11} \) \( = 3 + 11 \) \( = 14 \) (Потому что \( 8 = 2^3 \), значит \( \log_2 8 = 3 \). Свойство: \( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \) и \( \log_a a^c = c \)) 8. \( \log_5 5 = 1 \) (Потому что \( 5^1 = 5 \). Свойство: \( \log_a a = 1 \)) 9. \( \log_{10} 1 = 0 \) (Потому что любое число в степени 0 равно 1. \( 10^0 = 1 \)) 10. \( \log_{11} 242 - \log_{11} 2 = \) \( = \log_{11} \left( \frac{242}{2} \right) \) \( = \log_{11} 121 \) \( = 2 \) (Потому что \( 121 = 11^2 \). Свойство: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \)) 11. \( \log_{12} 1 = 0 \) (Потому что любое число в степени 0 равно 1. \( 12^0 = 1 \)) 12. \( 7^{4 \log_7 0,5} = \) \( = 7^{\log_7 (0,5)^4} \) \( = (0,5)^4 \) \( = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \) \( = \frac{1}{16} \) (Свойство: \( a^{\log_a b} = b \) и \( c \cdot \log_a b = \log_a b^c \)) 13. \( \log_3 13,5 + \log_3 2 = \) \( = \log_3 (13,5 \cdot 2) \) \( = \log_3 27 \) \( = 3 \) (Потому что \( 27 = 3^3 \). Свойство: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)) 14. \( \log_3 162 - \log_3 2 = \) \( = \log_3 \left( \frac{162}{2} \right) \) \( = \log_3 81 \) \( = 4 \) (Потому что \( 81 = 3^4 \). Свойство: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \)) 15. \( \log_{11} 121 = 2 \) (Потому что \( 121 = 11^2 \))