Решение задачи 1, Вариант 4: Параллельные плоскости

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Вариант 4

Задача 1. На рисунке приведена система бесконечных параллельных плоскостей, находящихся на расстоянии 1 см друг от друга. Поверхностные плотности зарядов на плоскостях \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) и \(\sigma_3\) соответственно равны 10, -15, 20 мкКл/м². Найти:

а) напряженность поля в точках A, B, C, D;

б) разность потенциалов между плоскостями 1 и 2.

Дано:

Расстояние между плоскостями \(d = 1\) см \( = 0.01\) м

Поверхностные плотности зарядов:

\(\sigma_1 = 10\) мкКл/м² \( = 10 \cdot 10^{-6}\) Кл/м²

\(\sigma_2 = -15\) мкКл/м² \( = -15 \cdot 10^{-6}\) Кл/м²

\(\sigma_3 = 20\) мкКл/м² \( = 20 \cdot 10^{-6}\) Кл/м²

Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}\) Ф/м

Найти:

а) \(E_A, E_B, E_C, E_D\)

б) \(\Delta\varphi_{12}\)

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого одной бесконечной заряженной плоскостью, определяется формулой:

\[E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}\]

Направление вектора напряженности поля от положительно заряженной плоскости направлено от нее, а к отрицательно заряженной плоскости – к ней.

Рассчитаем напряженности полей от каждой плоскости:

\[E_1 = \frac{|\sigma_1|}{2\varepsilon_0} = \frac{10 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \approx 5.65 \cdot 10^5 \text{ В/м}\] \[E_2 = \frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0} = \frac{|-15 \cdot 10^{-6}|}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \approx 8.47 \cdot 10^5 \text{ В/м}\] \[E_3 = \frac{|\sigma_3|}{2\varepsilon_0} = \frac{20 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \approx 11.30 \cdot 10^5 \text{ В/м}\]

Для определения результирующей напряженности поля в каждой точке будем использовать принцип суперпозиции, учитывая направления векторов. Примем положительное направление вправо.

а) Напряженность поля в точках A, B, C, D:

Точка A: находится слева от плоскости \(\sigma_1\).

• Поле от \(\sigma_1\) (\(\sigma_1 > 0\)) направлено влево: \(-E_1\).
• Поле от \(\sigma_2\) (\(\sigma_2 < 0\)) направлено вправо: \(+E_2\).
• Поле от \(\sigma_3\) (\(\sigma_3 > 0\)) направлено влево: \(-E_3\).

\[E_A = -E_1 + E_2 - E_3\] \[E_A = -5.65 \cdot 10^5 + 8.47 \cdot 10^5 - 11.30 \cdot 10^5 = (8.47 - 5.65 - 11.30) \cdot 10^5 = -8.48 \cdot 10^5 \text{ В/м}\]

Напряженность поля в точке A равна \(8.48 \cdot 10^5\) В/м и направлена влево.

Точка B: находится между плоскостями \(\sigma_1\) и \(\sigma_2\).

• Поле от \(\sigma_1\) (\(\sigma_1 > 0\)) направлено вправо: \(+E_1\).
• Поле от \(\sigma_2\) (\(\sigma_2 < 0\)) направлено вправо: \(+E_2\).
• Поле от \(\sigma_3\) (\(\sigma_3 > 0\)) направлено влево: \(-E_3\).

\[E_B = E_1 + E_2 - E_3\] \[E_B = 5.65 \cdot 10^5 + 8.47 \cdot 10^5 - 11.30 \cdot 10^5 = (5.65 + 8.47 - 11.30) \cdot 10^5 = 2.82 \cdot 10^5 \text{ В/м}\]

Напряженность поля в точке B равна \(2.82 \cdot 10^5\) В/м и направлена вправо.

Точка C: находится между плоскостями \(\sigma_2\) и \(\sigma_3\).

• Поле от \(\sigma_1\) (\(\sigma_1 > 0\)) направлено вправо: \(+E_1\).
• Поле от \(\sigma_2\) (\(\sigma_2 < 0\)) направлено влево: \(-E_2\).
• Поле от \(\sigma_3\) (\(\sigma_3 > 0\)) направлено вправо: \(+E_3\).

\[E_C = E_1 - E_2 + E_3\] \[E_C = 5.65 \cdot 10^5 - 8.47 \cdot 10^5 + 11.30 \cdot 10^5 = (5.65 - 8.47 + 11.30) \cdot 10^5 = 8.48 \cdot 10^5 \text{ В/м}\]

Напряженность поля в точке C равна \(8.48 \cdot 10^5\) В/м и направлена вправо.

Точка D: находится справа от плоскости \(\sigma_3\).

• Поле от \(\sigma_1\) (\(\sigma_1 > 0\)) направлено вправо: \(+E_1\).
• Поле от \(\sigma_2\) (\(\sigma_2 < 0\)) направлено влево: \(-E_2\).
• Поле от \(\sigma_3\) (\(\sigma_3 > 0\)) направлено вправо: \(+E_3\).

\[E_D = E_1 - E_2 + E_3\] \[E_D = 5.65 \cdot 10^5 - 8.47 \cdot 10^5 + 11.30 \cdot 10^5 = (5.65 - 8.47 + 11.30) \cdot 10^5 = 8.48 \cdot 10^5 \text{ В/м}\]

Напряженность поля в точке D равна \(8.48 \cdot 10^5\) В/м и направлена вправо.

б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2.

Разность потенциалов между двумя точками в однородном электрическом поле определяется формулой:

\[\Delta\varphi = E \cdot d\]

где \(E\) – напряженность поля между плоскостями, \(d\) – расстояние между плоскостями.

Между плоскостями 1 и 2 напряженность поля равна \(E_B\). Мы уже рассчитали ее в пункте а).

\[E_{12} = E_B = 2.82 \cdot 10^5 \text{ В/м}\]

Расстояние между плоскостями 1 и 2 равно \(d = 0.01\) м.

Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2:

\[\Delta\varphi_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 = E_{12} \cdot d\]

Поскольку поле \(E_{12}\) направлено вправо (от плоскости 1 к плоскости 2), а плоскость 1 заряжена положительно, а плоскость 2 отрицательно, то потенциал плоскости 1 выше потенциала плоскости 2.

\[\Delta\varphi_{12} = 2.82 \cdot 10^5 \text{ В/м} \cdot 0.01 \text{ м} = 2.82 \cdot 10^3 \text{ В} = 2820 \text{ В}\]

Ответ:

а) Напряженность поля:

• В точке A: \(E_A = 8.48 \cdot 10^5\) В/м, направлена влево.
• В точке B: \(E_B = 2.82 \cdot 10^5\) В/м, направлена вправо.
• В точке C: \(E_C = 8.48 \cdot 10^5\) В/м, направлена вправо.
• В точке D: \(E_D = 8.48 \cdot 10^5\) В/м, направлена вправо.

б) Разность потенциалов между плоскостями 1 и 2: \(\Delta\varphi_{12} = 2820\) В.