Решение задачи: Доказательство параллельности прямых d и e

Самостоятельная работа. Вариант 1

Задача 1. Для рис. 1 доказать, что \(d \parallel e\).

Дано:

Прямые \(d\) и \(e\) пересечены секущей \(k\).

Образовались углы: один угол равен \(39^\circ\), другой угол равен \(141^\circ\).

Доказать: \(d \parallel e\).

Решение:

1. Рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых \(d\) и \(e\) секущей \(k\).
2. Угол, равный \(39^\circ\), и угол, смежный с углом \(141^\circ\), являются внутренними односторонними углами.
3. Найдем величину угла, смежного с углом \(141^\circ\). Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
4. Пусть угол, смежный с \(141^\circ\), будет \(\angle x\). Тогда \(\angle x + 141^\circ = 180^\circ\).
5. Отсюда \(\angle x = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ\).
6. Теперь у нас есть два внутренних односторонних угла: один равен \(39^\circ\), и другой, который мы только что нашли, тоже равен \(39^\circ\).
7. Сумма этих внутренних односторонних углов равна \(39^\circ + 39^\circ = 78^\circ\).
8. Это неверно. Давайте посмотрим на рисунок внимательнее. Угол \(39^\circ\) и угол \(141^\circ\) расположены по разные стороны от секущей.
9. Угол \(39^\circ\) и угол, равный \(141^\circ\), являются внутренними накрест лежащими углами, если мы рассмотрим угол, вертикальный углу \(39^\circ\), или угол, смежный с углом \(141^\circ\).
10. Давайте рассмотрим угол, который является внутренним односторонним с углом \(39^\circ\). Пусть это будет \(\angle 1\).
11. Угол \(\angle 1\) и угол \(141^\circ\) являются смежными углами. Значит, \(\angle 1 + 141^\circ = 180^\circ\).
12. Отсюда \(\angle 1 = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ\).
13. Теперь у нас есть два внутренних односторонних угла: один равен \(39^\circ\) (данный) и другой равен \(39^\circ\) (найденный \(\angle 1\)).
14. Сумма этих внутренних односторонних углов равна \(39^\circ + 39^\circ = 78^\circ\). Это не \(180^\circ\), значит, прямые не параллельны, если эти углы внутренние односторонние.
15. Давайте рассмотрим другие пары углов.
16. Угол \(39^\circ\) и угол, вертикальный углу \(141^\circ\), являются внутренними накрест лежащими углами.
17. Угол, вертикальный углу \(141^\circ\), также равен \(141^\circ\).
18. Если бы прямые были параллельны, то внутренние накрест лежащие углы были бы равны. Но \(39^\circ \neq 141^\circ\).
19. Давайте рассмотрим угол \(39^\circ\) и угол, соответствующий углу \(141^\circ\).
20. Угол, соответствующий углу \(141^\circ\), равен \(141^\circ\).
21. Если бы прямые были параллельны, то соответствующие углы были бы равны. Но \(39^\circ \neq 141^\circ\).
22. Возможно, на рисунке угол \(141^\circ\) и угол, смежный с углом \(39^\circ\), являются внутренними односторонними.
23. Угол, смежный с углом \(39^\circ\), равен \(180^\circ - 39^\circ = 141^\circ\).
24. Теперь у нас есть два внутренних односторонних угла: один равен \(141^\circ\) (смежный с \(39^\circ\)) и другой равен \(141^\circ\) (данный).
25. Сумма этих углов равна \(141^\circ + 141^\circ = 282^\circ\). Это не \(180^\circ\).
26. Давайте еще раз внимательно посмотрим на расположение углов.
27. Угол \(39^\circ\) и угол \(141^\circ\) являются внутренними углами, расположенными по одну сторону от секущей.
28. Если прямые \(d\) и \(e\) параллельны, то сумма внутренних односторонних углов должна быть равна \(180^\circ\).
29. Проверим: \(39^\circ + 141^\circ = 180^\circ\).
30. Так как сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ\), то прямые \(d\) и \(e\) параллельны.

Вывод: Прямые \(d\) и \(e\) параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов, образованных при их пересечении секущей \(k\), равна \(180^\circ\).

Задача 2. На рис. 2 \(EO = LO\), \(FO = KO\). Доказать, что \(EF \parallel KL\).

Дано:

Отрезки \(EL\) и \(FK\) пересекаются в точке \(O\).

\(EO = LO\).

\(FO = KO\).

Доказать: \(EF \parallel KL\).

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle EOF\) и \(\triangle LOK\).
2. По условию задачи:
   • \(EO = LO\) (сторона)
   • \(FO = KO\) (сторона)
3. Углы \(\angle EOF\) и \(\angle LOK\) являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны. Значит, \(\angle EOF = \angle LOK\) (угол).
4. Таким образом, треугольники \(\triangle EOF\) и \(\triangle LOK\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов.
6. Значит, \(\angle OEF = \angle OLK\) (это внутренние накрест лежащие углы при прямых \(EF\) и \(KL\) и секущей \(EL\)).
7. Также \(\angle OFE = \angle OKL\) (это внутренние накрест лежащие углы при прямых \(EF\) и \(KL\) и секущей \(FK\)).
8. Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны (\(\angle OEF = \angle OLK\)), то прямые \(EF\) и \(KL\) параллельны.

Вывод: Прямые \(EF\) и \(KL\) параллельны, так как при их пересечении секущей \(EL\) (или \(FK\)) образуются равные внутренние накрест лежащие углы.

Задача 3. На рис. 3 \(AB = BC\), \(DE = EF\), \(\angle 1 = \angle 2\). Доказать, что \(AB \parallel DE\).

Дано:

Треугольник \(\triangle ABC\), в котором \(AB = BC\).

Треугольник \(\triangle DEF\), в котором \(DE = EF\).

Угол \(\angle 1\) (угол при основании \(\triangle ABC\)) равен углу \(\angle 2\) (угол при основании \(\triangle DEF\)).

Доказать: \(AB \parallel DE\).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). По условию \(AB = BC\), значит, \(\triangle ABC\) равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\angle BAC = \angle BCA\).
3. На рисунке \(\angle 1\) обозначен как \(\angle BAC\). Значит, \(\angle BAC = \angle 1\).
4. Рассмотрим треугольник \(\triangle DEF\). По условию \(DE = EF\), значит, \(\triangle DEF\) равнобедренный.
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\angle EDF = \angle EFD\).
6. На рисунке \(\angle 2\) обозначен как \(\angle EDF\). Значит, \(\angle EDF = \angle 2\).
7. По условию задачи, \(\angle 1 = \angle 2\).
8. Следовательно, \(\angle BAC = \angle EDF\).
9. Теперь представим, что прямые \(AB\) и \(DE\) пересечены некоторой секущей, которая проходит через точки \(A\) и \(D\).
10. Углы \(\angle BAC\) и \(\angle EDF\) являются соответствующими углами при прямых \(AB\) и \(DE\) и секущей, проходящей через \(A\) и \(D\).
11. Если соответствующие углы равны, то прямые параллельны.
12. Так как \(\angle BAC = \angle EDF\), то прямые \(AB\) и \(DE\) параллельны.

Вывод: Прямые \(AB\) и \(DE\) параллельны, так как соответствующие углы \(\angle BAC\) и \(\angle EDF\) равны.