Решение контрольной работы по математике 1 курс, вариант 5

Хорошо, давайте решим все задачи по порядку. Итоговая контрольная работа за I семестр 2025-2026 учебного года по дисциплине Математика обучающегося I курса группы Ф.И.О. Вариант №5 1. Вычислите, используя свойства степени и арифметического корня а) \(9^{10} \cdot 8^{9}\) Решение: \[9^{10} \cdot 8^{9} = 9 \cdot 9^9 \cdot 8^9 = 9 \cdot (9 \cdot 8)^9 = 9 \cdot 72^9\] Ответ: \(9 \cdot 72^9\) б) \(\frac{\sqrt[4]{128} \cdot \sqrt[4]{28}}{\sqrt[4]{14}}\) Решение: \[\frac{\sqrt[4]{128} \cdot \sqrt[4]{28}}{\sqrt[4]{14}} = \sqrt[4]{\frac{128 \cdot 28}{14}} = \sqrt[4]{128 \cdot 2} = \sqrt[4]{256}\] Так как \(4^4 = 256\), то \(\sqrt[4]{256} = 4\). Ответ: \(4\) в) \(\frac{(7\sqrt{3})^2}{21}\) Решение: \[\frac{(7\sqrt{3})^2}{21} = \frac{7^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{21} = \frac{49 \cdot 3}{21} = \frac{147}{21}\] Разделим 147 на 21: \(147 \div 21 = 7\) Ответ: \(7\) 2. Вычислите значение выражения, используя свойства логарифма а) \(5^{3+\log_5 3}\) Решение: \[5^{3+\log_5 3} = 5^3 \cdot 5^{\log_5 3}\] Используем свойство \(a^{\log_a b} = b\): \[5^3 \cdot 5^{\log_5 3} = 125 \cdot 3 = 375\] Ответ: \(375\) б) \(\log_6 0,8 + \log_6 45 - \frac{\log_3 8^2}{\log_3 8}\) Решение: Сначала упростим первое слагаемое: \[\log_6 0,8 + \log_6 45 = \log_6 (0,8 \cdot 45) = \log_6 (8/10 \cdot 45) = \log_6 (4/5 \cdot 45) = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36\] Так как \(6^2 = 36\), то \(\log_6 36 = 2\). Теперь упростим второе слагаемое: \[\frac{\log_3 8^2}{\log_3 8} = \frac{2 \log_3 8}{\log_3 8} = 2\] (При условии, что \(\log_3 8 \neq 0\), что верно). Теперь вычтем: \[2 - 2 = 0\] Ответ: \(0\) г) \(\log_5 60 - \frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5}\) Решение: Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: \(\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b\). Тогда \(\frac{\log_{13} 12}{\log_{13} 5} = \log_5 12\). Теперь подставим это в выражение: \[\log_5 60 - \log_5 12\] Используем свойство \(\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)\): \[\log_5 60 - \log_5 12 = \log_5 \left(\frac{60}{12}\right) = \log_5 5\] Так как \(5^1 = 5\), то \(\log_5 5 = 1\). Ответ: \(1\) 3. Решите простейшие уравнения а) \(\sqrt{2x-3} = -3\) Решение: Квадратный корень из числа по определению всегда неотрицателен. То есть \(\sqrt{2x-3} \ge 0\). В данном уравнении \(\sqrt{2x-3} = -3\), что невозможно, так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: Нет решений. б) \(16^{3x+13} = \frac{1}{16}\) Решение: Перепишем \(\frac{1}{16}\) как \(16^{-1}\). \[16^{3x+13} = 16^{-1}\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: \[3x+13 = -1\] \[3x = -1 - 13\] \[3x = -14\] \[x = -\frac{14}{3}\] Ответ: \(x = -\frac{14}{3}\) в) \(\log_{\frac{1}{3}} (5x-6) = -2\) Решение: По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). В нашем случае \(a = \frac{1}{3}\), \(b = 5x-6\), \(c = -2\). \[\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 5x-6\] \[3^2 = 5x-6\] \[9 = 5x-6\] \[9+6 = 5x\] \[15 = 5x\] \[x = \frac{15}{5}\] \[x = 3\] Проверим область допустимых значений (ОДЗ): \(5x-6 > 0\). При \(x=3\), \(5(3)-6 = 15-6 = 9 > 0\). Условие выполняется. Ответ: \(x = 3\) 4. Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, укажите в ответ меньший из них. \(\sqrt{-14-9x} = -x\) Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{-14-9x})^2 = (-x)^2\] \[-14-9x = x^2\] Перенесем все члены в одну сторону: \[x^2 + 9x + 14 = 0\] Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -9\), \(x_1 \cdot x_2 = 14\). Подходящие корни: \(x_1 = -2\), \(x_2 = -7\). Теперь необходимо проверить эти корни, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. У нас есть два условия: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(-14-9x \ge 0\). 2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню: \(-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0\). Проверим \(x_1 = -2\): 1. \(-14-9(-2) = -14+18 = 4 \ge 0\). Условие выполняется. 2. \(-(-2) = 2 \ge 0\). Условие выполняется. Значит, \(x = -2\) является корнем. Проверим \(x_2 = -7\): 1. \(-14-9(-7) = -14+63 = 49 \ge 0\). Условие выполняется. 2. \(-(-7) = 7 \ge 0\). Условие выполняется. Значит, \(x = -7\) также является корнем. Уравнение имеет два корня: \(-2\) и \(-7\). В ответ нужно указать меньший из них. Меньший корень - это \(-7\). Ответ: \(-7\) 5. Решите уравнение методом вынесения общего множителя за скобки \(6^{x+1} - 2 \cdot 6^x = 144\) Решение: Перепишем \(6^{x+1}\) как \(6^x \cdot 6^1\). \[6^x \cdot 6 - 2 \cdot 6^x = 144\] Вынесем \(6^x\) за скобки: \[6^x (6 - 2) = 144\] \[6^x \cdot 4 = 144\] Разделим обе части на 4: \[6^x = \frac{144}{4}\] \[6^x = 36\] Так как \(36 = 6^2\), то: \[6^x = 6^2\] \[x = 2\] Ответ: \(x = 2\) 6. Решите уравнение методом введения новой переменной \(\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 = 0\) Решение: Введем новую переменную: пусть \(y = \log_2 x\). Тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 4y + 3 = 0\] Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: \(y_1 + y_2 = 4\), \(y_1 \cdot y_2 = 3\). Подходящие корни: \(y_1 = 1\), \(y_2 = 3\). Теперь вернемся к исходной переменной \(x\). Случай 1: \(y = 1\) \[\log_2 x = 1\] По определению логарифма: \(x = 2^1\) \[x = 2\] Случай 2: \(y = 3\) \[\log_2 x = 3\] По определению логарифма: \(x = 2^3\) \[x = 8\] Проверим область допустимых значений (ОДЗ): \(x > 0\). Оба корня \(x=2\) и \(x=8\) удовлетворяют этому условию. Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 8\) 7. Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости \(\alpha\), если длина наклонной равна 30 см, а длина проекции наклонной 18 см. Решение: Пусть \(h\) - длина перпендикуляра (высота), \(L\) - длина наклонной, \(P\) - длина проекции наклонной. Из условия задачи дано: \(L = 30\) см \(P = 18\) см Перпендикуляр, наклонная и ее проекция образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция - катетами. По теореме Пифагора: \[L^2 = h^2 + P^2\] Подставим известные значения: \[30^2 = h^2 + 18^2\] \[900 = h^2 + 324\] Выразим \(h^2\): \[h^2 = 900 - 324\] \[h^2 = 576\] Найдем \(h\): \[h = \sqrt{576}\] \[h = 24\] Длина перпендикуляра равна 24 см. Ответ: 24 см. 8. Решите неравенства а) \(5^{4x+9} \ge \frac{1}{125}\) Решение: Перепишем \(\frac{1}{125}\) как степень числа 5: \[\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}\] Теперь неравенство выглядит так: \[5^{4x+9} \ge 5^{-3}\] Так как основание степени \(5 > 1\), то при сравнении показателей знак неравенства сохраняется: \[4x+9 \ge -3\] \[4x \ge -3 - 9\] \[4x \ge -12\] \[x \ge \frac{-12}{4}\] \[x \ge -3\] Ответ: \(x \ge -3\) или в интервальной записи \([-3; +\infty)\). б) \(\log_{\frac{1}{3}} (4x-8) > \log_{\frac{1}{3}} (x+1)\) Решение: Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: 1. \(4x-8 > 0 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow x > 2\) 2. \(x+1 > 0 \Rightarrow x > -1\) Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: \(x > 2\). Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма \(\frac{1}{3}\) находится в интервале \(0 < a < 1\), то при отбрасывании логарифмов знак неравенства меняется на противоположный: \[4x-8 < x+1\] Перенесем \(x\) в левую часть, а числа в правую: \[4x - x < 1 + 8\] \[3x < 9\] \[x < \frac{9}{3}\] \[x < 3\] Теперь объединим это решение с ОДЗ \(x > 2\). \[2 < x < 3\] Ответ: \(2 < x < 3\) или в интервальной записи \((2; 3)\). 9. Решите систему уравнений \[\begin{cases} x+y = 4 \\ \log_{81} 3^{2x-y} = 2 \end{cases}\] Решение: Начнем со второго уравнения: \[\log_{81} 3^{2x-y} = 2\] По определению логарифма: \[81^2 = 3^{2x-y}\] Представим 81 как степень тройки: \(81 = 3^4\). \[(3^4)^2 = 3^{2x-y}\] \[3^8 = 3^{2x-y}\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: \[2x-y = 8\] Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[\begin{cases} x+y = 4 \\ 2x-y = 8 \end{cases}\] Сложим эти два уравнения, чтобы исключить \(y\): \[(x+y) + (2x-y) = 4 + 8\] \[x+y+2x-y = 12\] \[3x = 12\] \[x = \frac{12}{3}\] \[x = 4\] Теперь подставим значение \(x=4\) в первое уравнение \(x+y=4\): \[4+y = 4\] \[y = 4-4\] \[y = 0\] Проверим решение. Первое уравнение: \(4+0 = 4\). Верно. Второе уравнение: \(\log_{81} 3^{2(4)-0} = \log_{81} 3^8\). Мы знаем, что \(81 = 3^4\), поэтому \(\log_{3^4} 3^8\). Используем свойство \(\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b\): \[\log_{3^4} 3^8 = \frac{8}{4} \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2\] Верно. Ответ: \((4; 0)\) или \(x=4, y=0\). Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!