Задача 1.
Между населенными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяженность которых (в километрах) приведена в таблице:
| A | B | C | D | E | |
| A | 5 | 3 | |||
| B | 5 | 1 | 4 | ||
| C | 3 | 1 | 6 | ||
| D | 4 | 6 | 1 | ||
| E | 1 |
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и E. Передвигаться можно только по дорогам, протяженность которых указана в таблице.
Решение:
Для нахождения кратчайшего пути будем использовать метод перебора возможных маршрутов, начиная от пункта A и постепенно находя кратчайшие расстояния до других пунктов.
1. Из пункта A можно попасть в:
- B за 5 км (A-B = 5)
- C за 3 км (A-C = 3)
2. Рассмотрим пункт C, так как до него кратчайшее расстояние от A (3 км):
- Из C можно попасть в B за 1 км. Общий путь A-C-B = 3 + 1 = 4 км. Это короче, чем A-B = 5 км. Обновляем расстояние до B: 4 км.
- Из C можно попасть в D за 6 км. Общий путь A-C-D = 3 + 6 = 9 км.
3. Теперь у нас есть следующие кратчайшие пути от A:
- До B: 4 км (через C)
- До C: 3 км
- До D: 9 км (через C)
4. Рассмотрим пункт B, так как до него следующее кратчайшее расстояние от A (4 км):
- Из B можно попасть в D за 4 км. Общий путь A-C-B-D = 4 + 4 = 8 км. Это короче, чем A-C-D = 9 км. Обновляем расстояние до D: 8 км.
5. Теперь у нас есть следующие кратчайшие пути от A:
- До B: 4 км (через C)
- До C: 3 км
- До D: 8 км (через C и B)
6. Рассмотрим пункт D, так как до него следующее кратчайшее расстояние от A (8 км):
- Из D можно попасть в E за 1 км. Общий путь A-C-B-D-E = 8 + 1 = 9 км.
Таким образом, кратчайший путь из A в E составляет 9 км.
Ответ: 9
Задача 2.
Между населенными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяженность которых (в километрах) приведена в таблице:
| A | B | C | D | E | |
| A | 4 | 7 | |||
| B | 4 | 1 | 5 | ||
| C | 7 | 1 | 3 | ||
| D | 5 | 3 | 1 | ||
| E | 1 |
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и E. Передвигаться можно только по дорогам, протяженность которых указана в таблице.
Решение:
1. Из пункта A можно попасть в:
- B за 4 км (A-B = 4)
- C за 7 км (A-C = 7)
2. Рассмотрим пункт B, так как до него кратчайшее расстояние от A (4 км):
- Из B можно попасть в C за 1 км. Общий путь A-B-C = 4 + 1 = 5 км. Это короче, чем A-C = 7 км. Обновляем расстояние до C: 5 км.
- Из B можно попасть в D за 5 км. Общий путь A-B-D = 4 + 5 = 9 км.
3. Теперь у нас есть следующие кратчайшие пути от A:
- До B: 4 км
- До C: 5 км (через B)
- До D: 9 км (через B)
4. Рассмотрим пункт C, так как до него следующее кратчайшее расстояние от A (5 км):
- Из C можно попасть в D за 3 км. Общий путь A-B-C-D = 5 + 3 = 8 км. Это короче, чем A-B-D = 9 км. Обновляем расстояние до D: 8 км.
5. Теперь у нас есть следующие кратчайшие пути от A:
- До B: 4 км
- До C: 5 км (через B)
- До D: 8 км (через B и C)
6. Рассмотрим пункт D, так как до него следующее кратчайшее расстояние от A (8 км):
- Из D можно попасть в E за 1 км. Общий путь A-B-C-D-E = 8 + 1 = 9 км.
Таким образом, кратчайший путь из A в E составляет 9 км.
Ответ: 9
Задача 3.
Между населенными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяженность которых (в километрах) приведена в таблице:
| A | B | C | D | E | |
| A | 4 | 4 | |||
| B | 4 | 1 | 5 | ||
| C | 4 | 1 | 3 | ||
| D | 5 | 3 | 1 | ||
| E | 1 |
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и E. Передвигаться можно только по дорогам, протяженность которых указана в таблице.
Решение:
1. Из пункта A можно попасть в:
- B за 4 км (A-B = 4)
- C за 4 км (A-C = 4)
2. Рассмотрим пункт B (или C, так как расстояния одинаковые). Пусть будет B:
- Из B можно попасть в C за 1 км. Общий путь A-B-C = 4 + 1 = 5 км. Это длиннее, чем A-C = 4 км. Поэтому кратчайшее расстояние до C остается 4 км.
- Из B можно попасть в D за 5 км. Общий путь A-B-D = 4 + 5 = 9 км.
3. Теперь у нас есть следующие кратчайшие пути от A:
- До B: 4 км
- До C: 4 км
- До D: 9 км (через B)
4. Рассмотрим пункт C, так как до него следующее кратчайшее расстояние от A (4 км):
- Из C можно попасть в B за 1 км. Общий путь A-C-B = 4 + 1 = 5 км. Это длиннее, чем A-B = 4 км. Поэтому кратчайшее расстояние до B остается 4 км.
- Из C можно попасть в D за 3 км. Общий путь A-C-D = 4 + 3 = 7 км. Это короче, чем A-B-D = 9 км. Обновляем расстояние до D: 7 км.
5. Теперь у нас есть следующие кратчайшие пути от A:
- До B: 4 км
- До C: 4 км
- До D: 7 км (через C)
6. Рассмотрим пункт D, так как до него следующее кратчайшее расстояние от A (7 км):
- Из D можно попасть в E за 1 км. Общий путь A-C-D-E = 7 + 1 = 8 км.
Таким образом, кратчайший путь из A в E составляет 8 км.
Ответ: 8