2 вариант
1. Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
Решение:
Площадь треугольника (S) можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]где \(a\) — это длина стороны треугольника, а \(h\) — это высота, проведённая к этой стороне.
В нашей задаче дано:
- Сторона \(a = 14\)
- Высота \(h = 31\)
Подставим эти значения в формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 31\] \[S = 7 \cdot 31\] \[S = 217\]Ответ: Площадь треугольника равна 217.
2. Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.
Решение:
Площадь прямоугольного треугольника (S) можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot k_1 \cdot k_2\]где \(k_1\) и \(k_2\) — это длины катетов прямоугольного треугольника.
В нашей задаче дано:
- Первый катет \(k_1 = 13\)
- Второй катет \(k_2 = 4\)
Подставим эти значения в формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 4\] \[S = 13 \cdot 2\] \[S = 26\]Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 26.
3. Биссектриса равностороннего треугольника равна \(11\sqrt{3}\). Найдите сторону этого треугольника.
Решение:
В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают. Обозначим сторону равностороннего треугольника как \(a\).
Высота (h) равностороннего треугольника связана со стороной \(a\) формулой:
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]По условию задачи, биссектриса (которая также является высотой) равна \(11\sqrt{3}\).
Значит, \(h = 11\sqrt{3}\).
Приравняем формулу высоты к данному значению:
\[\frac{a\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3}\]Чтобы найти \(a\), умножим обе части уравнения на 2:
\[a\sqrt{3} = 2 \cdot 11\sqrt{3}\] \[a\sqrt{3} = 22\sqrt{3}\]Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[a = 22\]Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна 22.
4. Медиана равностороннего треугольника равна \(13\sqrt{2}\). Найдите сторону этого треугольника.
Решение:
В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из одной вершины, совпадают. Обозначим сторону равностороннего треугольника как \(a\).
Медиана (m) равностороннего треугольника связана со стороной \(a\) формулой:
\[m = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]По условию задачи, медиана (которая также является высотой) равна \(13\sqrt{2}\).
Значит, \(m = 13\sqrt{2}\).
Приравняем формулу медианы к данному значению:
\[\frac{a\sqrt{3}}{2} = 13\sqrt{2}\]Чтобы найти \(a\), умножим обе части уравнения на 2:
\[a\sqrt{3} = 2 \cdot 13\sqrt{2}\] \[a\sqrt{3} = 26\sqrt{2}\]Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[a = \frac{26\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\[a = \frac{26\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\] \[a = \frac{26\sqrt{6}}{3}\]Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна \(\frac{26\sqrt{6}}{3}\).
5. Высота равностороннего треугольника равна \(4\sqrt{5}\). Найдите сторону этого треугольника.
Решение:
Обозначим сторону равностороннего треугольника как \(a\).
Высота (h) равностороннего треугольника связана со стороной \(a\) формулой:
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]По условию задачи, высота равна \(4\sqrt{5}\).
Значит, \(h = 4\sqrt{5}\).
Приравняем формулу высоты к данному значению:
\[\frac{a\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{5}\]Чтобы найти \(a\), умножим обе части уравнения на 2:
\[a\sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{5}\] \[a\sqrt{3} = 8\sqrt{5}\]Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[a = \frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\]Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\[a = \frac{8\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\] \[a = \frac{8\sqrt{15}}{3}\]Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна \(\frac{8\sqrt{15}}{3}\).