Решение примеров с арксинусом:
1. Найдём значение \( \arcsin \frac{1}{2} \). Арксинус \( \frac{1}{2} \) — это угол, синус которого равен \( \frac{1}{2} \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \). Следовательно, \[ \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \] 2. Найдём значение \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \). Арксинус \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) — это угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Следовательно, \[ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \] 3. Найдём значение \( \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \). Для отрицательных значений аргумента арксинуса используется свойство \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \). Мы уже знаем, что \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \). Следовательно, \[ \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\arcsin \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6} \] 4. Найдём значение \( \arcsin 1 \). Арксинус \( 1 \) — это угол, синус которого равен \( 1 \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \). Следовательно, \[ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \]Решение примеров с арккосинусом:
1. Найдём значение \( \arccos \frac{1}{2} \). Арккосинус \( \frac{1}{2} \) — это угол, косинус которого равен \( \frac{1}{2} \). Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \). Следовательно, \[ \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \] 2. Найдём значение \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \). Арккосинус \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) — это угол, косинус которого равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Следовательно, \[ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} \] 3. Найдём значение \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \). Для отрицательных значений аргумента арккосинуса используется свойство \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \). Мы уже знаем, что \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \). Следовательно, \[ \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \pi - \arccos \frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] 4. Найдём значение \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \). Используем свойство \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \). Мы знаем, что \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \). Следовательно, \[ \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi - \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \] 5. Найдём значение \( \arccos 0 \). Арккосинус \( 0 \) — это угол, косинус которого равен \( 0 \). Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \). Следовательно, \[ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} \]Итоговые ответы:
Для арксинуса:
\( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \)
\( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \)
\( \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \)
\( \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \)
Для арккосинуса:
\( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \)
\( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} \)
\( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3} \)
\( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{4} \)
\( \arccos 0 = \frac{\pi}{2} \)