Решение примеров с арктангенсом:
1. Найдём значение \( \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} \). Арктангенс \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) — это угол, тангенс которого равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). Мы знаем, что \( \text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Следовательно, \[ \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \] 2. Найдём значение \( \text{arctg} 1 \). Арктангенс \( 1 \) — это угол, тангенс которого равен \( 1 \). Мы знаем, что \( \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \). Следовательно, \[ \text{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} \] 3. Найдём значение \( \text{arctg} \sqrt{3} \). Арктангенс \( \sqrt{3} \) — это угол, тангенс которого равен \( \sqrt{3} \). Мы знаем, что \( \text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \). Следовательно, \[ \text{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \]Решение примеров с суммой арксинуса и арккосинуса:
Используем основное тождество для арксинуса и арккосинуса: \( \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \) для \( x \in [-1, 1] \). 1. Найдём значение \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \). По тождеству, \[ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} \] 2. Найдём значение \( \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} \). По тождеству, \[ \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} \]Решение более сложных выражений:
1. Найдём значение \( \sin \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) \). Сначала найдём \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \). Мы знаем, что \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \). \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \). Значит, \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \). Теперь найдём \( \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \). \( \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Следовательно, \[ \sin \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. Найдём значение \( \text{tg} \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \). Сначала найдём \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \). Мы знаем, что \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} \). Теперь найдём \( \text{tg} \left( \frac{\pi}{6} \right) \). \( \text{tg} \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Следовательно, \[ \text{tg} \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 3. Найдём значение выражения \( 2 \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \text{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \). Разберём каждый член по отдельности: а) \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \). Используем свойство \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \). \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \). Значит, \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3} \). Тогда \( 2 \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{2\pi}{3} \). б) \( \text{arctg} (-1) \). Используем свойство \( \text{arctg}(-x) = -\text{arctg} x \). \( \text{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} \). Значит, \( \text{arctg} (-1) = -\frac{\pi}{4} \). в) \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \). Мы знаем, что \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \). Теперь сложим все полученные значения: \[ -\frac{2\pi}{3} + \left( -\frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} \] \[ -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \] Заметим, что \( -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 0 \). Следовательно, \[ 2 \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \text{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\pi}{3} \]Итоговые ответы:
Для арктангенса:
\( \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \)
\( \text{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} \)
\( \text{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \)
Для суммы арксинуса и арккосинуса:
\( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} \)
\( \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} \)
Для сложных выражений:
\( \sin \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \text{tg} \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( 2 \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \text{arctg} (-1) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\pi}{3} \)