Решение задачи: Сопоставление графиков функций с уравнениями

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
11. В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ дайте в виде последовательности трёх цифр. Даны функции: 1) \(y = -3x + 3\) 2) \(y = 3x\) 3) \(y = 3x - 3\) Нужно сопоставить их с графиками, обозначенными буквами А, Б, В. Посмотрим на графики: График А: Прямая проходит через точку \((0; 3)\) и имеет отрицательный наклон. Это соответствует функции \(y = -3x + 3\). График Б: Прямая проходит через начало координат \((0; 0)\) и имеет положительный наклон. Это соответствует функции \(y = 3x\). График В: Прямая проходит через точку \((0; -3)\) и имеет положительный наклон. Это соответствует функции \(y = 3x - 3\). Таким образом: А - 1 Б - 2 В - 3 Ответ: 123
12. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с\(^2\)) вычисляется по формуле \(a = \omega^2 R\), где \(\omega\) - угловая скорость (в м/с\(^{-1}\)), \(R\) - радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус \(R\), если угловая скорость равна 9 с\(^{-1}\), а центростремительное ускорение равно 243 м/с\(^2\). Ответ дайте в метрах. Дано: Ускорение \(a = 243\) м/с\(^2\) Угловая скорость \(\omega = 9\) с\(^{-1}\) Формула: \(a = \omega^2 R\) Нужно найти радиус \(R\). Выразим \(R\) из формулы: \(R = \frac{a}{\omega^2}\) Подставим известные значения: \(R = \frac{243}{9^2}\) \(R = \frac{243}{81}\) \(R = 3\) Ответ: 3
13. Укажите решение неравенства \((x + 2)(x - 10) > 0\). Чтобы решить неравенство, найдем корни уравнения \((x + 2)(x - 10) = 0\). Корни: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 10\). Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \((-\infty; -2)\), \((-2; 10)\), \((10; +\infty)\). Проверим знак выражения \((x + 2)(x - 10)\) на каждом интервале. 1. Интервал \((-\infty; -2)\): Возьмем \(x = -3\). \((-3 + 2)(-3 - 10) = (-1)(-13) = 13\). \(13 > 0\). Значит, на этом интервале неравенство выполняется. 2. Интервал \((-2; 10)\): Возьмем \(x = 0\). \((0 + 2)(0 - 10) = (2)(-10) = -20\). \(-20 < 0\). Значит, на этом интервале неравенство не выполняется. 3. Интервал \((10; +\infty)\): Возьмем \(x = 11\). \((11 + 2)(11 - 10) = (13)(1) = 13\). \(13 > 0\). Значит, на этом интервале неравенство выполняется. Таким образом, решение неравенства: \((-\infty; -2) \cup (10; +\infty)\). Среди предложенных вариантов это соответствует варианту 2. Ответ: 2
14. В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра? Это арифметическая прогрессия. Первый член прогрессии \(a_1 = 25\). Разность прогрессии \(d = 3\). Нужно найти количество мест в восьмом ряду, то есть \(a_8\). Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n - 1)d\). Подставим значения для \(n = 8\): \(a_8 = 25 + (8 - 1) \cdot 3\) \(a_8 = 25 + 7 \cdot 3\) \(a_8 = 25 + 21\) \(a_8 = 46\) Ответ: 46
15. Медиана равностороннего треугольника равна \(9\sqrt{3}\). Найдите сторону этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана является также высотой. Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\). Высота \(h\) (медиана) в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле: \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Нам дано, что медиана \(h = 9\sqrt{3}\). Подставим это значение в формулу: \(9\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) Чтобы найти \(a\), умножим обе части уравнения на 2 и разделим на \(\sqrt{3}\): \(a = \frac{9\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}}\) \(a = 9 \cdot 2\) \(a = 18\) Ответ: 18
16. Центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\), лежит на стороне \(AB\). Найдите угол \(ABC\), если угол \(BAC\) равен \(30^\circ\). Ответ дайте в градусах. Если центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), то эта сторона является диаметром окружности. Треугольник, вписанный в окружность, одна из сторон которого является диаметром, является прямоугольным. Значит, угол \(ACB\) (угол, опирающийся на диаметр \(AB\)) равен \(90^\circ\). У нас есть треугольник \(ABC\), в котором: Угол \(BAC = 30^\circ\) Угол \(ACB = 90^\circ\) Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Угол \(ABC = 180^\circ - \text{угол } BAC - \text{угол } ACB\) Угол \(ABC = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ\) Угол \(ABC = 180^\circ - 120^\circ\) Угол \(ABC = 60^\circ\) Ответ: 60
17. Периметр ромба равен 36, а один из углов равен \(30^\circ\). Найдите площадь этого ромба. Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Периметр ромба \(P = 4a\), где \(a\) - длина стороны ромба. Дано \(P = 36\). Значит, \(4a = 36\). \(a = \frac{36}{4}\) \(a = 9\). Площадь ромба можно найти по формуле: \(S = a^2 \sin(\alpha)\), где \(a\) - сторона ромба, а \(\alpha\) - один из его углов. Дано, что один из углов \(\alpha = 30^\circ\). \(S = 9^2 \cdot \sin(30^\circ)\) Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \(S = 81 \cdot \frac{1}{2}\) \(S = 40.5\) Ответ: 40.5
18. На клетчатой бумаге с размером клетки \(1 \times 1\) изображена фигура. Найдите длину отрезка \(AB\) по данным чертежа. Для нахождения длины отрезка \(AB\) воспользуемся теоремой Пифагора. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок \(AB\). Опустим перпендикуляр из точки \(A\) на горизонтальную линию, проходящую через точку \(B\), или из точки \(B\) на вертикальную линию, проходящую через точку \(A\). Давайте посчитаем координаты точек или просто длины катетов по клеткам. От точки \(A\) до точки \(B\): По горизонтали (по оси x) отсчитаем клетки: от 1 до 4, это 3 клетки. Значит, один катет равен 3. По вертикали (по оси y) отсчитаем клетки: от 1 до 5, это 4 клетки. Значит, другой катет равен 4. Пусть катеты равны \(x = 3\) и \(y = 4\). Длина отрезка \(AB\) (гипотенуза) \(c\) находится по формуле: \(c = \sqrt{x^2 + y^2}\). \(c = \sqrt{3^2 + 4^2}\) \(c = \sqrt{9 + 16}\) \(c = \sqrt{25}\) \(c = 5\) Ответ: 5
19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? Рассмотрим каждое утверждение: 1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. Это истинное утверждение. Площадь квадрата \(S = a \cdot a = a^2\), где \(a\) - длина стороны. Смежные стороны квадрата равны. 2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. Это ложное утверждение. Диагональ трапеции делит её на два треугольника, которые, как правило, не равны. Они имеют общую сторону (диагональ), но их другие стороны и углы обычно отличаются. Например, в равнобедренной трапеции диагонали равны, но треугольники, на которые они делят трапецию, не равны. 3) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Это ложное утверждение. Для равенства треугольников по двум сторонам необходимо, чтобы угол между этими сторонами также был равен (признак равенства по двум сторонам и углу между ними). Если угол не равен, то треугольники могут быть не равны. Например, можно построить два разных треугольника с одинаковыми длинами двух сторон, но разными углами между ними. Таким образом, истинным является только утверждение 1. Ответ: 1