Задача:
После протягивания проволоки через волочильный станок её длина \(L\) увеличилась в 2 раза. Каким стало сопротивление \(R'\) этой проволоки, если до волочения её сопротивление было равно \(R = 20\) Ом? Объём проволоки после волочения не изменился.
Решение:
1. Запишем, что нам дано:
- Начальное сопротивление проволоки \(R = 20\) Ом.
- Длина проволоки увеличилась в 2 раза, то есть новая длина \(L' = 2L\).
- Объём проволоки \(V\) не изменился.
2. Вспомним формулу для электрического сопротивления проводника:
\[R = \rho \frac{L}{S}\]
где:
- \(R\) — электрическое сопротивление;
- \(\rho\) — удельное электрическое сопротивление материала (остаётся неизменным, так как материал тот же);
- \(L\) — длина проводника;
- \(S\) — площадь поперечного сечения проводника.
3. Вспомним формулу для объёма проводника (цилиндра):
\[V = S \cdot L\]
Из этой формулы можно выразить площадь поперечного сечения: \(S = \frac{V}{L}\).
4. Подставим выражение для \(S\) в формулу сопротивления:
\[R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}\]
Эта формула показывает, как сопротивление зависит от длины и объёма. Поскольку \(\rho\) и \(V\) остаются неизменными, сопротивление прямо пропорционально квадрату длины \(L^2\).
5. Теперь рассмотрим изменения после волочения:
- Новая длина \(L' = 2L\).
- Новое сопротивление \(R'\).
Запишем формулу для нового сопротивления \(R'\):
\[R' = \rho \frac{(L')^2}{V}\]
Подставим \(L' = 2L\):
\[R' = \rho \frac{(2L)^2}{V} = \rho \frac{4L^2}{V}\]
6. Сравним \(R'\) с начальным сопротивлением \(R\):
Мы знаем, что \(R = \rho \frac{L^2}{V}\).
Тогда \(R' = 4 \cdot \left(\rho \frac{L^2}{V}\right) = 4R\).
7. Вычислим новое сопротивление:
\[R' = 4 \cdot 20 \text{ Ом} = 80 \text{ Ом}\]
Ответ:
Сопротивление проволоки после волочения стало \(80\) Ом.