Решение задачи на сопротивление проводника

Задача:

Имеется шесть проводников, изготовленных из различных материалов и имеющих различные размеры. Какой проводник обладает наименьшим сопротивлением? Удельные сопротивления меди и железа равны \(\rho_{\text{Cu}} = 0.017\) Ом·мм²/м и \(\rho_{\text{Fe}} = 0.1\) Ом·мм²/м соответственно.

Пояснение:

1. Вспомним формулу для электрического сопротивления проводника:

\[R = \rho \frac{L}{S}\]

где:

• \(R\) — электрическое сопротивление проводника;
• \(\rho\) — удельное электрическое сопротивление материала;
• \(L\) — длина проводника;
• \(S\) — площадь поперечного сечения проводника.

2. Проанализируем, как сопротивление зависит от параметров:

• Чем меньше удельное сопротивление \(\rho\), тем меньше \(R\).
• Чем меньше длина \(L\), тем меньше \(R\).
• Чем больше площадь поперечного сечения \(S\), тем меньше \(R\).

Таким образом, для наименьшего сопротивления нам нужен проводник из материала с наименьшим \(\rho\), с наименьшей длиной \(L\) и наибольшей площадью поперечного сечения \(S\).

3. Сравним удельные сопротивления материалов:

• Медь (Cu): \(\rho_{\text{Cu}} = 0.017\) Ом·мм²/м
• Железо (Fe): \(\rho_{\text{Fe}} = 0.1\) Ом·мм²/м

Очевидно, что медь имеет значительно меньшее удельное сопротивление, чем железо (\(0.017 < 0.1\)). Следовательно, проводники из меди будут иметь меньшее сопротивление при прочих равных условиях.

4. Рассмотрим медные проводники (1, 2, 3):

• Проводник 1 (Cu): Большая длина, большая площадь поперечного сечения.
• Проводник 2 (Cu): Средняя длина, маленькая площадь поперечного сечения.
• Проводник 3 (Cu): Большая длина, маленькая площадь поперечного сечения.

Чтобы сопротивление было наименьшим, нам нужна наименьшая длина и наибольшая площадь поперечного сечения. Среди медных проводников:

• Проводник 2 имеет наименьшую длину среди медных.
• Проводник 1 имеет наибольшую площадь поперечного сечения среди медных.

Сравним проводники 1 и 2 более детально. Проводник 1 имеет большую площадь поперечного сечения, что уменьшает сопротивление, но и большую длину, что увеличивает сопротивление. Проводник 2 имеет меньшую длину, что уменьшает сопротивление, но и меньшую площадь поперечного сечения, что увеличивает сопротивление. Визуально, проводник 1 выглядит как самый "толстый" и "длинный" из медных, а проводник 2 - как "тонкий" и "средней длины". Проводник 3 - "тонкий" и "длинный".

Для наименьшего сопротивления из медных проводников, нам нужен тот, у которого отношение \(L/S\) будет наименьшим. Визуально, проводник 1 имеет наибольшую площадь поперечного сечения, что является сильным фактором для уменьшения сопротивления. Его длина также велика, но площадь поперечного сечения значительно больше, чем у 2 и 3. Проводник 2 имеет наименьшую длину, но и очень малую площадь поперечного сечения. Проводник 3 имеет большую длину и малую площадь поперечного сечения, поэтому его сопротивление будет большим.

Среди медных проводников, проводник 1 имеет наибольшую площадь поперечного сечения. Хотя его длина не самая маленькая, большая площадь поперечного сечения обычно оказывает более сильное влияние на уменьшение сопротивления, чем увеличение длины. Если бы проводник 1 был короче, он был бы еще лучше. Но из представленных медных, проводник 1 является наиболее "массивным" (большой объем), что при прочих равных условиях (одинаковый материал) часто означает меньшее сопротивление, если длина не чрезмерно велика по сравнению с другими.

5. Рассмотрим железные проводники (4, 5, 6):

• Проводник 4 (Fe): Средняя длина, маленькая площадь поперечного сечения.
• Проводник 5 (Fe): Маленькая длина, средняя площадь поперечного сечения.
• Проводник 6 (Fe): Большая длина, большая площадь поперечного сечения.

Среди железных проводников, проводник 5 имеет наименьшую длину и относительно большую площадь поперечного сечения. Проводник 6 имеет наибольшую площадь поперечного сечения, но и наибольшую длину. Проводник 4 имеет малую площадь поперечного сечения и среднюю длину.

Наименьшее сопротивление среди железных будет у проводника 5, так как у него наименьшая длина и относительно большая площадь поперечного сечения.

6. Сравним лучший медный проводник с лучшим железным проводником.

Мы уже установили, что медь имеет меньшее удельное сопротивление, чем железо. Поэтому проводник из меди, даже если он не идеален по размерам, скорее всего, будет иметь меньшее сопротивление, чем любой проводник из железа.

Сравним проводник 1 (Cu) с проводником 5 (Fe).

Проводник 1 (Cu): большая длина, большая площадь. \(\rho_{\text{Cu}} = 0.017\)

Проводник 5 (Fe): маленькая длина, средняя площадь. \(\rho_{\text{Fe}} = 0.1\)

Даже если проводник 5 из железа имеет более выгодные геометрические параметры (меньше \(L\), больше \(S\)) по сравнению с проводником 1 из меди, разница в удельном сопротивлении (\(\rho_{\text{Fe}}\) почти в 6 раз больше \(\rho_{\text{Cu}}\)) будет решающей.

Наименьшее сопротивление будет у проводника из меди, который имеет наибольшую площадь поперечного сечения и наименьшую длину. Визуально, проводник 1 имеет наибольшую площадь поперечного сечения среди всех проводников, и он сделан из меди. Хотя его длина не самая маленькая, большая площадь поперечного сечения сильно уменьшает сопротивление.

Если мы хотим найти наименьшее сопротивление, мы должны выбрать медный проводник. Среди медных проводников (1, 2, 3), проводник 1 имеет наибольшую площадь поперечного сечения. Это очень важный фактор для уменьшения сопротивления. Несмотря на то, что его длина не самая маленькая, его большая "толщина" делает его наиболее вероятным кандидатом на наименьшее сопротивление.

Вывод:

Наименьшее сопротивление будет у проводника, который сделан из материала с наименьшим удельным сопротивлением (медь) и имеет наибольшую площадь поперечного сечения при наименьшей длине. Среди медных проводников, проводник 1 имеет наибольшую площадь поперечного сечения. Это ключевой фактор, который делает его сопротивление наименьшим среди всех представленных вариантов.

Ответ:

1