Решение контрольной работы №2 по теме "Треугольники" Вариант 1

Хорошо, давайте разберем эту контрольную работу по теме "Треугольники". Контрольная работа №2 по теме "Треугольники" Вариант 1 Теоретическая часть. 1. Выпишите номера правильных утверждений. 1) Существует точка плоскости, через которую можно провести бесконечное количество различных прямых. 2) Сумма вертикальных углов равна \(90^\circ\). 3) Если угол равен \(120^\circ\), то смежный с ним угол равен \(60^\circ\). 4) Существуют три различные прямые, проходящие через одну общую точку. 5) Остроугольный треугольник является равнобедренным. 6) В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой. 7) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то треугольники равны. Решение: Давайте проанализируем каждое утверждение: 1) Существует точка плоскости, через которую можно провести бесконечное количество различных прямых. Это утверждение верно. Через любую точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. 2) Сумма вертикальных углов равна \(90^\circ\). Это утверждение неверно. Вертикальные углы равны между собой, но их сумма не обязательно равна \(90^\circ\). Например, если вертикальные углы по \(30^\circ\), то их сумма \(60^\circ\). 3) Если угол равен \(120^\circ\), то смежный с ним угол равен \(60^\circ\). Это утверждение верно. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Если один угол \(120^\circ\), то смежный с ним угол будет \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 4) Существуют три различные прямые, проходящие через одну общую точку. Это утверждение верно. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, в том числе и три различные. 5) Остроугольный треугольник является равнобедренным. Это утверждение неверно. Остроугольный треугольник может быть и разносторонним, и равнобедренным, и равносторонним. Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 является остроугольным, но не равнобедренным. 6) В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой. Это утверждение неверно в общем случае. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и биссектрисой, и высотой. Но медиана, проведенная к боковой стороне, не обязательно является биссектрисой. 7) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то треугольники равны. Это утверждение верно. Это один из признаков равенства треугольников (по трем сторонам). Правильные утверждения: 1, 3, 4, 7. 2. Используя рисунок, укажите верные утверждения. 1) ВК - биссектриса треугольника АВС 2) ВК - высота треугольника АВС 3) СN - медиана треугольника BCF 4) СN - биссектриса треугольника BCF 5) KS - биссектриса треугольника KLM Решение: Рассмотрим каждый рисунок и утверждение: Рисунок 1 (треугольник АВС с отрезком ВК): На рисунке видно, что угол АВК не равен углу СВК (угол АВК больше). Также угол ВКС не равен \(90^\circ\). 1) ВК - биссектриса треугольника АВС. Неверно, так как не делит угол В пополам. 2) ВК - высота треугольника АВС. Неверно, так как не образует прямой угол с АС. Рисунок 2 (треугольник BCF с отрезком CN): На рисунке видно, что CN делит сторону BF пополам (обозначено одинаковыми штрихами). Также видно, что CN делит угол C пополам (обозначено одинаковыми дугами по \(29^\circ\)). 3) СN - медиана треугольника BCF. Верно, так как делит сторону BF пополам. 4) СN - биссектриса треугольника BCF. Верно, так как делит угол C пополам. Рисунок 3 (треугольник KLM с отрезком KS): На рисунке видно, что KS делит угол K пополам (обозначено одинаковыми дугами). 5) KS - биссектриса треугольника KLM. Верно, так как делит угол K пополам. Верные утверждения: 3, 4, 5. 3. Используя данные, приведенные на рисунках, укажите номера рисунков, на которых изображены равнобедренные треугольники. Решение: Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. Следствием этого является равенство углов при основании. Рисунок 1: Углы \(35^\circ\) и \(35^\circ\). Так как два угла равны, то треугольник равнобедренный. Рисунок 2: Углы \(90^\circ\), \(45^\circ\). Третий угол будет \(180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Так как два угла равны (\(45^\circ\) и \(45^\circ\)), то треугольник равнобедренный. Рисунок 3: Углы \(40^\circ\), \(70^\circ\). Третий угол будет \(180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ\). Так как два угла равны (\(70^\circ\) и \(70^\circ\)), то треугольник равнобедренный. Рисунок 4: Углы \(55^\circ\), \(65^\circ\). Третий угол будет \(180^\circ - 55^\circ - 65^\circ = 60^\circ\). Все углы разные, значит, треугольник не равнобедренный. Равнобедренные треугольники изображены на рисунках: 1, 2, 3. Практическая часть. 4. На рисунке отрезки МЕ и РК точкой D делятся пополам. Докажите, что \(\angle KMD = \angle PED\). Решение: Дано: Отрезки МЕ и РК пересекаются в точке D. Точка D делит МЕ пополам, то есть \(MD = DE\). Точка D делит РК пополам, то есть \(KD = DP\). Доказать: \(\angle KMD = \angle PED\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle KMD\) и \(\triangle PED\). 1. \(MD = DE\) (по условию). 2. \(KD = DP\) (по условию). 3. \(\angle KDM = \angle PDE\) как вертикальные углы. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \(\triangle KMD = \triangle PED\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Следовательно, \(\angle KMD = \angle PED\). Что и требовалось доказать. 5. На рисунке \(\angle ABE = 104^\circ\), \(\angle DCF = 76^\circ\), \(AC = 12\) см. Найдите сторону АВ треугольника АВС. Решение: Дано: \(\angle ABE = 104^\circ\) \(\angle DCF = 76^\circ\) \(AC = 12\) см Найти: \(AB\). Рассмотрим углы: \(\angle ABC\) и \(\angle ABE\) являются смежными углами. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle ABC = 180^\circ - \angle ABE = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ\). \(\angle ACB\) и \(\angle DCF\) являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны. Значит, \(\angle ACB = \angle DCF = 76^\circ\). Теперь рассмотрим треугольник АВС. Мы нашли, что \(\angle ABC = 76^\circ\) и \(\angle ACB = 76^\circ\). Так как два угла в треугольнике АВС равны (\(\angle ABC = \angle ACB = 76^\circ\)), то треугольник АВС является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Сторона АС лежит против угла \(\angle ABC\). Сторона АВ лежит против угла \(\angle ACB\). Следовательно, \(AB = AC\). По условию \(AC = 12\) см. Значит, \(AB = 12\) см. Ответ: \(AB = 12\) см. 6. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 12:6. Найдите эти углы. Решение: Дано: Прямоугольный треугольник. Отношение острых углов как 12:6. Найти: величины острых углов. В прямоугольном треугольнике один угол равен \(90^\circ\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Пусть острые углы будут \(x\) и \(y\). Тогда \(x + y = 90^\circ\). По условию, отношение острых углов как 12:6. Это можно упростить до 2:1. Пусть один острый угол равен \(2k\), а другой острый угол равен \(k\). Тогда \(2k + k = 90^\circ\). \(3k = 90^\circ\). \(k = \frac{90^\circ}{3}\). \(k = 30^\circ\). Первый острый угол равен \(2k = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Второй острый угол равен \(k = 30^\circ\). Проверка: \(60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\). Отношение \(60:30 = 2:1\), что соответствует 12:6. Ответ: Острые углы равны \(60^\circ\) и \(30^\circ\).