Решение Системы Линейных Уравнений с Параметром λ

Решение задачи: Нам дана система линейных уравнений: \[ \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ \lambda x - 5y = 0 \end{cases} \] Система линейных уравнений имеет бесконечное число решений, если уравнения линейно зависимы. Для однородной системы (когда правые части равны нулю) это означает, что определитель матрицы коэффициентов равен нулю. Матрица коэффициентов для данной системы выглядит так: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ \lambda & -5 \end{pmatrix} \] Определитель этой матрицы равен: \[ \det(A) = (3) \cdot (-5) - (2) \cdot (\lambda) \] \[ \det(A) = -15 - 2\lambda \] Для того чтобы система имела бесконечное число решений, определитель должен быть равен нулю: \[ -15 - 2\lambda = 0 \] Теперь решим это уравнение относительно \(\lambda\): \[ -2\lambda = 15 \] \[ \lambda = \frac{15}{-2} \] \[ \lambda = -7.5 \] Таким образом, при \(\lambda = -7.5\) система уравнений будет иметь бесконечное число решений. Проверка: Если \(\lambda = -7.5\), система становится: \[ \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ -7.5x - 5y = 0 \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 2.5: \(2.5 \cdot (3x + 2y) = 2.5 \cdot 0\) \(7.5x + 5y = 0\) Теперь сравним это с вторым уравнением: \(-7.5x - 5y = 0\) Если умножить второе уравнение на -1, получим: \(7.5x + 5y = 0\) Мы видим, что уравнения стали одинаковыми (или одно является кратным другого), что подтверждает наличие бесконечного числа решений. Ответ: Система линейных уравнений будет иметь бесконечное число решений при \(\lambda = -7.5\).