Найти k при перпендикулярности векторов a и b

Решение задачи: Даны векторы: \(\vec{a} = (-1; 2; k)\) \(\vec{b} = (4; k; -3)\) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)\) и \(\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)\) вычисляется по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2\) Подставим координаты наших векторов в формулу скалярного произведения: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 4 + 2 \cdot k + k \cdot (-3)\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -4 + 2k - 3k\) Приравняем скалярное произведение к нулю, так как векторы перпендикулярны: \(-4 + 2k - 3k = 0\) Теперь решим это уравнение относительно \(k\): \(-4 - k = 0\) \(-k = 4\) \(k = -4\) Проверка: Если \(k = -4\), то векторы будут: \(\vec{a} = (-1; 2; -4)\) \(\vec{b} = (4; -4; -3)\) Найдем их скалярное произведение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 4 + 2 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-3)\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -4 - 8 + 12\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -12 + 12\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы перпендикулярны. Ответ: Векторы перпендикулярны при \(k = -4\).