Нахождение радиуса окружности по уравнению x^2 + y^2 + 6x - 20y - 12 = 0

Решим задачу. Задача: Найдите радиус окружности, заданной уравнением \(x^2 + y^2 + 6x - 20y - 12 = 0\). Решение: 1. Общее уравнение окружности имеет вид: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\] где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(R\) - её радиус. 2. Нам дано уравнение окружности: \[x^2 + y^2 + 6x - 20y - 12 = 0\] 3. Чтобы привести данное уравнение к общему виду, нужно выделить полные квадраты для \(x\) и для \(y\). Сгруппируем члены с \(x\) и с \(y\): \[(x^2 + 6x) + (y^2 - 20y) - 12 = 0\] 4. Выделим полный квадрат для \(x\). Для этого к выражению \(x^2 + 6x\) нужно прибавить \((6/2)^2 = 3^2 = 9\). Чтобы уравнение не изменилось, мы должны также вычесть 9. \[x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x + 3)^2 - 9\] 5. Выделим полный квадрат для \(y\). Для этого к выражению \(y^2 - 20y\) нужно прибавить \((-20/2)^2 = (-10)^2 = 100\). Чтобы уравнение не изменилось, мы должны также вычесть 100. \[y^2 - 20y = (y^2 - 20y + 100) - 100 = (y - 10)^2 - 100\] 6. Подставим полученные выражения обратно в уравнение окружности: \[(x + 3)^2 - 9 + (y - 10)^2 - 100 - 12 = 0\] 7. Перенесем все постоянные члены в правую часть уравнения: \[(x + 3)^2 + (y - 10)^2 = 9 + 100 + 12\] \[(x + 3)^2 + (y - 10)^2 = 121\] 8. Теперь сравним полученное уравнение с общим видом уравнения окружности \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\). Мы видим, что: \(x - a = x + 3 \Rightarrow a = -3\) \(y - b = y - 10 \Rightarrow b = 10\) \(R^2 = 121\) 9. Найдем радиус \(R\): \[R^2 = 121\] \[R = \sqrt{121}\] \[R = 11\] Ответ: Радиус окружности равен 11.