Задача: Найдите сумму координат центра сферы \(x^2 + y^2 + z^2 + 12x + 6y - 5z = 1\).
Решение:
Уравнение сферы в общем виде выглядит так:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2\]где \((x_0, y_0, z_0)\) — это координаты центра сферы, а \(R\) — её радиус.
Нам дано уравнение сферы:
\[x^2 + y^2 + z^2 + 12x + 6y - 5z = 1\]Чтобы найти координаты центра, нам нужно преобразовать данное уравнение к общему виду, выделив полные квадраты для \(x\), \(y\) и \(z\).
Сгруппируем члены с одинаковыми переменными:
\[(x^2 + 12x) + (y^2 + 6y) + (z^2 - 5z) = 1\]Теперь выделим полные квадраты. Для этого к каждому выражению вида \(a^2 + ba\) нужно прибавить \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\). При этом, чтобы уравнение осталось верным, мы должны прибавить те же значения и к правой части уравнения.
Для \(x^2 + 12x\):
Коэффициент при \(x\) равен \(12\). Половина от \(12\) — это \(6\). Квадрат \(6\) — это \(36\).
\[x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\]Для \(y^2 + 6y\):
Коэффициент при \(y\) равен \(6\). Половина от \(6\) — это \(3\). Квадрат \(3\) — это \(9\).
\[y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2\]Для \(z^2 - 5z\):
Коэффициент при \(z\) равен \(-5\). Половина от \(-5\) — это \(-\frac{5}{2}\). Квадрат \(-\frac{5}{2}\) — это \(\frac{25}{4}\).
\[z^2 - 5z + \frac{25}{4} = \left(z - \frac{5}{2}\right)^2\]Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение сферы, не забывая добавить прибавленные числа к правой части:
\[(x^2 + 12x + 36) + (y^2 + 6y + 9) + \left(z^2 - 5z + \frac{25}{4}\right) = 1 + 36 + 9 + \frac{25}{4}\]Преобразуем левую часть к виду полных квадратов:
\[(x + 6)^2 + (y + 3)^2 + \left(z - \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + 36 + 9 + \frac{25}{4}\]Вычислим сумму в правой части:
\[1 + 36 + 9 = 46\] \[46 + \frac{25}{4} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} = \frac{184}{4} + \frac{25}{4} = \frac{184 + 25}{4} = \frac{209}{4}\]Таким образом, уравнение сферы принимает вид:
\[(x + 6)^2 + (y + 3)^2 + \left(z - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{209}{4}\]Сравнивая это уравнение с общим видом \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2\), мы можем определить координаты центра сферы:
\(x_0 = -6\)
\(y_0 = -3\)
\(z_0 = \frac{5}{2}\)
Теперь нам нужно найти сумму координат центра сферы:
\[x_0 + y_0 + z_0 = -6 + (-3) + \frac{5}{2}\] \[x_0 + y_0 + z_0 = -6 - 3 + \frac{5}{2}\] \[x_0 + y_0 + z_0 = -9 + \frac{5}{2}\]Приведем \(-9\) к общему знаменателю \(\frac{2}{2}\):
\[-9 = -\frac{9 \cdot 2}{2} = -\frac{18}{2}\]Тогда сумма будет:
\[-\frac{18}{2} + \frac{5}{2} = \frac{-18 + 5}{2} = \frac{-13}{2}\]Или в десятичной дроби:
\[\frac{-13}{2} = -6.5\]Ответ: Сумма координат центра сферы равна \(-6.5\).