Задача: Найдите предел \(\lim_{x \to \infty} \ln \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{12x}\).
Решение:
Для решения этого предела мы будем использовать свойства логарифмов и второй замечательный предел.
Сначала вспомним свойство логарифма: \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\). Применим это свойство к нашему выражению:
\[\lim_{x \to \infty} \ln \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{12x} = \lim_{x \to \infty} 12x \cdot \ln \left(1 + \frac{1}{3x}\right)\]Теперь мы можем вынести константу \(12\) за знак предела:
\[12 \cdot \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln \left(1 + \frac{1}{3x}\right)\]Далее, мы можем переписать \(x\) как \(\frac{1}{\frac{1}{x}}\):
\[12 \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{3x}\right)}{\frac{1}{x}}\]Теперь сделаем замену переменной. Пусть \(y = \frac{1}{3x}\). Тогда, когда \(x \to \infty\), \(y \to 0\). Также, из \(y = \frac{1}{3x}\) следует, что \(3x = \frac{1}{y}\), а значит \(x = \frac{1}{3y}\). Тогда \(\frac{1}{x} = 3y\).
Подставим это в наш предел:
\[12 \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + y)}{3y}\]Вынесем константу \(\frac{1}{3}\) за знак предела:
\[12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + y)}{y}\] \[4 \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + y)}{y}\]Мы знаем, что \(\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + y)}{y} = 1\). Это один из замечательных пределов (следствие второго замечательного предела).
Используя это свойство, получаем:
\[4 \cdot 1 = 4\]Альтернативный способ решения (используя свойство непрерывности логарифма):
Мы можем внести предел под знак логарифма, так как функция \(\ln(t)\) непрерывна:
\[\lim_{x \to \infty} \ln \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{12x} = \ln \left( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{12x} \right)\]Теперь рассмотрим внутренний предел: \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{12x}\).
Мы знаем второй замечательный предел: \(\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e\).
Чтобы привести наш предел к этому виду, сделаем замену. Пусть \(t = 3x\). Тогда, когда \(x \to \infty\), \(t \to \infty\).
Также, \(12x = 4 \cdot (3x) = 4t\).
Подставим это в предел:
\[\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{4t}\]Используя свойство степеней \((a^b)^c = a^{bc}\), мы можем переписать это как:
\[\lim_{t \to \infty} \left( \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \right)^4\]Так как предел внутренней части равен \(e\), то:
\[\left( \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t \right)^4 = e^4\]Теперь вернемся к исходному выражению с логарифмом:
\[\ln \left( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{12x} \right) = \ln(e^4)\]Используя свойство логарифма \(\ln(e^k) = k\), получаем:
\[\ln(e^4) = 4\]Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: \(\lim_{x \to \infty} \ln \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{12x} = 4\).