Задача: Материальная точка движется по закону \(s = 4\sqrt{2t} - 7t + 3\). Найдите её скорость в момент времени \(t = 8\).
Решение:
Скорость материальной точки \(v(t)\) является производной от закона движения \(s(t)\) по времени \(t\).
\[v(t) = s'(t)\]Нам дан закон движения:
\[s(t) = 4\sqrt{2t} - 7t + 3\]Прежде чем брать производную, удобно переписать \(\sqrt{2t}\) в виде степени:
\[\sqrt{2t} = (2t)^{\frac{1}{2}}\]Тогда функция \(s(t)\) будет выглядеть так:
\[s(t) = 4(2t)^{\frac{1}{2}} - 7t + 3\]Теперь найдем производную \(s'(t)\). Будем использовать следующие правила дифференцирования:
- Производная суммы/разности: \((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\)
- Производная константы: \((C)' = 0\)
- Производная \(Cx\): \((Cx)' = C\)
- Производная сложной функции: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
- Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
Найдем производную каждого члена:
1. Для \(4(2t)^{\frac{1}{2}}\):
Это сложная функция. Внешняя функция \(f(u) = 4u^{\frac{1}{2}}\), внутренняя функция \(u = g(t) = 2t\).
Производная внешней функции: \(f'(u) = 4 \cdot \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} = 2u^{-\frac{1}{2}}\).
Производная внутренней функции: \(g'(t) = (2t)' = 2\).
Тогда производная первого члена: \(4(2t)^{\frac{1}{2}})' = 2(2t)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = 4(2t)^{-\frac{1}{2}}\).
Можно записать это как: \(\frac{4}{\sqrt{2t}}\).
2. Для \(-7t\):
\((-7t)' = -7\).
3. Для \(3\):
\((3)' = 0\).
Теперь соберем все производные вместе, чтобы получить \(v(t)\):
\[v(t) = \frac{4}{\sqrt{2t}} - 7\]Нам нужно найти скорость в момент времени \(t = 8\). Подставим \(t = 8\) в выражение для \(v(t)\):
\[v(8) = \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 8}} - 7\] \[v(8) = \frac{4}{\sqrt{16}} - 7\] \[v(8) = \frac{4}{4} - 7\] \[v(8) = 1 - 7\] \[v(8) = -6\]Ответ: Скорость материальной точки в момент времени \(t = 8\) равна \(-6\).