Решение примеров по тригонометрии

Хорошо, давайте решим эти примеры по порядку.

Пример 1

Вычислить: \( \mathrm{tg} \left( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это угол, косинус которого равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Мы знаем, что \( \mathrm{cos} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, \( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} \). 2. Теперь подставим это значение в выражение: \( \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{6} \right) \) 3. Вычислим тангенс \( \frac{\pi}{6} \). \( \mathrm{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\mathrm{sin} \frac{\pi}{6}}{\mathrm{cos} \frac{\pi}{6}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Пример 2

Вычислить: \( 2 \mathrm{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \mathrm{arctg} (-1) + \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \). Мы знаем, что \( \mathrm{sin} \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, \( \mathrm{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3} \). 2. Найдем значение \( \mathrm{arctg} (-1) \). Мы знаем, что \( \mathrm{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 \). Значит, \( \mathrm{arctg} (-1) = -\frac{\pi}{4} \). 3. Найдем значение \( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} \). Мы знаем, что \( \mathrm{cos} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит, \( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \). 4. Подставим найденные значения в исходное выражение: \( 2 \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \left( -\frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} \) 5. Выполним вычисления: \( -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} \) Ответ: \( -\frac{2\pi}{3} \)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Вычислить:

Пример 1

\( \mathrm{ctg} (\mathrm{arccos} 0) \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arccos} 0 \). Это угол, косинус которого равен 0. Мы знаем, что \( \mathrm{cos} \frac{\pi}{2} = 0 \). Значит, \( \mathrm{arccos} 0 = \frac{\pi}{2} \). 2. Теперь подставим это значение в выражение: \( \mathrm{ctg} \left( \frac{\pi}{2} \right) \) 3. Вычислим котангенс \( \frac{\pi}{2} \). \( \mathrm{ctg} \frac{\pi}{2} = \frac{\mathrm{cos} \frac{\pi}{2}}{\mathrm{sin} \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0 \) Ответ: \( 0 \)

Пример 2

\( \mathrm{sin} \left( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} \). Это угол, косинус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Мы знаем, что \( \mathrm{cos} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит, \( \mathrm{arccos} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \). 2. Теперь подставим это значение в выражение: \( \mathrm{sin} \left( \frac{\pi}{4} \right) \) 3. Вычислим синус \( \frac{\pi}{4} \). \( \mathrm{sin} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Пример 3

\( \mathrm{arccos} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \mathrm{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arccos} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \). Мы знаем, что \( \mathrm{cos} \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, \( \mathrm{arccos} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5\pi}{6} \). 2. Найдем значение \( \mathrm{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \). Мы знаем, что \( \mathrm{sin} \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, \( \mathrm{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3} \). 3. Подставим найденные значения в исходное выражение: \( \frac{5\pi}{6} + \left( -\frac{\pi}{3} \right) \) 4. Выполним вычисления: \( \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) Ответ: \( \frac{\pi}{2} \)

Пример 4

\( \mathrm{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) - \mathrm{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \). Мы знаем, что \( \mathrm{ctg} \frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Значит, \( \mathrm{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{2\pi}{3} \). 2. Найдем значение \( \mathrm{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} \). Мы знаем, что \( \mathrm{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Значит, \( \mathrm{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6} \). 3. Подставим найденные значения в исходное выражение: \( \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \) 4. Выполним вычисления: \( \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) Ответ: \( \frac{\pi}{2} \)

Пример 5

\( \mathrm{arctg} (-\sqrt{3}) + \mathrm{arccos} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \mathrm{arcsin} 1 \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arctg} (-\sqrt{3}) \). Мы знаем, что \( \mathrm{tg} \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3} \). Значит, \( \mathrm{arctg} (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \). 2. Найдем значение \( \mathrm{arccos} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \). Мы знаем, что \( \mathrm{cos} \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, \( \mathrm{arccos} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5\pi}{6} \). 3. Найдем значение \( \mathrm{arcsin} 1 \). Мы знаем, что \( \mathrm{sin} \frac{\pi}{2} = 1 \). Значит, \( \mathrm{arcsin} 1 = \frac{\pi}{2} \). 4. Подставим найденные значения в исходное выражение: \( -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \) 5. Выполним вычисления: \( -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{-2\pi + 5\pi + 3\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi \) Ответ: \( \pi \)

Пример 6

\( \mathrm{arcsin} (-1) - \frac{3}{2} \mathrm{arccos} \frac{1}{2} + 3 \mathrm{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \) Решение: 1. Найдем значение \( \mathrm{arcsin} (-1) \). Мы знаем, что \( \mathrm{sin} \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1 \). Значит, \( \mathrm{arcsin} (-1) = -\frac{\pi}{2} \). 2. Найдем значение \( \mathrm{arccos} \frac{1}{2} \). Мы знаем, что \( \mathrm{cos} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \). Значит, \( \mathrm{arccos} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \). 3. Найдем значение \( \mathrm{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \). Мы знаем, что \( \mathrm{ctg} \frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Значит, \( \mathrm{arcctg} \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{2\pi}{3} \). 4. Подставим найденные значения в исходное выражение: \( -\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \left( \frac{\pi}{3} \right) + 3 \left( \frac{2\pi}{3} \right) \) 5. Выполним вычисления: \( -\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{6} + \frac{6\pi}{3} \) \( -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi \) \( -\pi + 2\pi = \pi \) Ответ: \( \pi \)