Решение задачи: Математическое ожидание случайной величины X

Решение задачи: Нам дан закон распределения случайного вектора \((X, Y)\) в виде таблицы. Нам нужно найти математическое ожидание случайной величины \(X\). Таблица распределения:

\(X / Y\)	0	2
0	1/4	1/2
4	1/8	1/8

Шаг 1: Найдем закон распределения случайной величины \(X\). Для этого нам нужно просуммировать вероятности по строкам для каждого значения \(X\). Значения, которые принимает случайная величина \(X\), это 0 и 4. Для \(X = 0\): Вероятность \(P(X=0)\) равна сумме вероятностей в первой строке: \(P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=2)\) \(P(X=0) = 1/4 + 1/2\) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 2 это 4. \(1/2 = 2/4\) \(P(X=0) = 1/4 + 2/4 = 3/4\) Для \(X = 4\): Вероятность \(P(X=4)\) равна сумме вероятностей во второй строке: \(P(X=4) = P(X=4, Y=0) + P(X=4, Y=2)\) \(P(X=4) = 1/8 + 1/8\) \(P(X=4) = 2/8 = 1/4\) Проверим, что сумма всех вероятностей для \(X\) равна 1: \(P(X=0) + P(X=4) = 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1\). Это верно. Теперь у нас есть закон распределения случайной величины \(X\):

\(X\)	0	4
\(P(X)\)	3/4	1/4

Шаг 2: Вычислим математическое ожидание случайной величины \(X\). Математическое ожидание \(E(X)\) дискретной случайной величины вычисляется по формуле: \[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)\] где \(x_i\) - это значения, которые принимает случайная величина, а \(P(X=x_i)\) - соответствующие им вероятности. Подставим значения из таблицы распределения \(X\): \(E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 4 \cdot P(X=4)\) \(E(X) = 0 \cdot (3/4) + 4 \cdot (1/4)\) \(E(X) = 0 + 4/4\) \(E(X) = 0 + 1\) \(E(X) = 1\) Таким образом, математическое ожидание случайной величины \(X\) равно 1. Ответ: 1